Введение

В математике эквивариантная кохомология (или кохомология Бореля) - это теория кохомологии из алгебраической топологии, которая применяется к топологическим пространствам с групповым действием. Это можно рассматривать как общее обобщение групповой кохомологии и обычной теории кохомологии. В частности, эквивалентное кольцо кохомологии пространства с действием топологической группы определяется как обычное кольцо кохомологии с коэффициентом кольца гомотопии: Если это тривиальная группа, это обычное кольцо кохомологии , тогда как если это сокращаемое, то оно сводится к кольцу кохомологии классифицирующего пространства (то есть, групповой кохомологии, когда G конечен). Если G действует свободно на X, то каноническая карта является гомотопией эквивалентности и получается:

Связь с группоидным кохомологией

Для группоида Лей эквивалентная кохомология гладкого многообразия является специальным примером группоидной кохомологии группоида Лей. Это связано с тем, что при наличии пространства для компактной группы Ли, существует ассоциированный группоид, эквивалентные группы когомологии которого могут быть вычислены с помощью комплекса Картана, который является тотализацией двойного комплекса де Рэма группоида. Термины в комплексе Картана являются где является симметричной алгеброй двойной алгебры Ли из группы Ли, и соответствует инвариантным формам. Это особенно полезный инструмент для вычисления кохомологии для компактной группы Ли, поскольку это может быть вычислено как кохомология, где действие тривиально на точке. Тогда, например, поскольку действие на двойной алгебре Ли тривиально.

Коэффициент гомотопии

Гомотопиевой коэффициент, также называемый гомотопиевым орбитальным пространством или конструкцией Бореля, является гомотопически правильной версией орбитального пространства (коэффициент по его действию), в котором сначала заменяется более крупным, но гомотопиевым эквивалентным пространством, так что действие гарантированно свободно. Для этого создайте универсальный пакет EG → BG для G и вспомните, что EG допускает свободное действие G. Тогда произведение EG × X , которое является гомотопией, эквивалентной X, поскольку EG сокращается, допускает действие диагональной G, определенное (e, x). g = (например, g−1x): кроме того, это диагональное действие свободно, поскольку оно свободно на EG. Таким образом, мы определяем гомотопию XG как орбитальное пространство (EG × X) / G этого свободного действия G. Другими словами, коэффициент гомотопии - это ассоциированный пучок X на BG, полученный от действия G на пространство X и основной пучок EG → BG. Этот пучок X → XG → BG называется борэльской фибрацией.

Пример коэффициента гомотопии

Следующий пример - это Предложение 1 о том, что X является сложной проективной алгебраической кривой. Мы определяем X как топологическое пространство с множеством комплексных точек , которое является компактной поверхностью Римана . Пусть G - сложная просто соединенная полупростая группа Ли. Тогда любой основной G-пакет на X изоморфен тривиальному пакету, поскольку классифицирующее пространство 2 соединено, а X имеет реальное измерение 2. Поставьте гладкий G-пакет на X. Другими словами, множество всех классов изоморфизма пар, состоящих из основного G-пакета на X и сложной аналитической структуры на нем, можно идентифицировать со множеством сложных аналитических структур на или, эквивалентно, со множеством голоморфных соединений на X (поскольку соединения интегрируются по причине измерений). является бесконечномерным сложным аффинным пространством и, следовательно, сжимается. Пусть будет группой всех автоморфизмов (т. е. группы калибровки). Тогда гомотопийный коэффициент by классифицирует сложные аналитические (или эквивалентно алгебраические) основные G-пакеты на X; т. е. это именно классифицирующее пространство дискретной группы. Можно определить модульный стек основных пакетов как коэффициентный стек, а затем коэффициент гомотопии является, по определению, гомотопийным типом .

Классы эквивалентных характеристик

Пусть E является эквивариантной векторной пучкой на G-многообразии M. Это приводит к созданию векторной пучки на гомотопии, так что она тянет назад к пучке через эквивариантный характеристический класс E, который является обычным характеристическим классом , который является элементом завершения кольца кохомологии (для применения теории Черна-Вейла, используется конечное измерение приближения EG). В качестве альтернативы можно сначала определить эквивариантный класс Черна, а затем определить другие характерные классы как инвариантные полиномы классов Черна, как в обычном случае; например, эквивариантный класс Тодда эквивариантного пакета линий - это функция Тодда, оцениваемая на эквивариантном первом классе Черна пакета. (Эквивалентный класс Тодда прямолинейного пучка является силовым рядом (а не полиномом, как в неэквивалентном случае) в эквивалентном первом классе Черна; следовательно, он относится к завершению эквивалентного кольца кохомологии.) В неэквивариантном случае первый класс Черна можно рассматривать как биекцию между множеством всех классов изоморфизма сложных прямых пучков на многообразии M и В эквивариантном случае это переводится как: эквивариантный первый Черн дает биекцию между множеством всех классов изоморфизма эквивариантных сложных прямых пучков и .

Теорема локализации

Теорема о локализации является одним из самых мощных инструментов в эквивариантной кохомологии.

Отношение к стекам

PDF-файл на странице 10 содержит основные результаты с примерами.