Введение

Распределение вероятности, к которому случайные величины или распределения "стремятся" при увеличении числа испытаний. В математике и статистике асимптотическое распределение – это распределение вероятности, которое в определенном смысле является предельным распределением последовательности распределений. Одно из основных применений идеи асимптотического распределения заключается в предоставлении приближений для кумулятивных функций распределения статистических оценок.

Определение

Последовательность распределений соответствует последовательности случайных переменных Zi для i = 1, 2, …, I. В простейшем случае, асимптотическое распределение существует, если распределение вероятностей Zi сходится к распределению вероятностей (асимптотическому распределению) при увеличении i: см. сходимость в распределении. Частным случаем асимптотического распределения является ситуация, когда последовательность случайных переменных всегда равна нулю или Zi = 0 при i, стремящемся к бесконечности. В этом случае асимптотическое распределение является вырожденным распределением, соответствующим значению ноль. Однако наиболее распространенное значение термина "асимптотическое распределение" возникает, когда случайные переменные Zi модифицируются двумя последовательностями детерминированных значений. Таким образом, если

сходится в распределении к недегенерированному распределению для двух последовательностей {ai} и {bi}, то говорят, что Zi имеет это распределение в качестве своего асимптотического распределения. Если функция распределения асимптотического распределения равна F, то для больших n справедны следующие приближения:

Если асимптотическое распределение существует, это не обязательно означает, что какой-либо отдельный исход последовательности случайных переменных является сходящейся последовательностью чисел. Сходится сама последовательность распределений вероятностей.

Местная асимптотическая нормальность

Локальная асимптотическая нормальность является обобщением центральной предельной теоремы. Это свойство последовательности статистических моделей, позволяющее асимптотически аппроксимировать эту последовательность нормальной моделью местоположения после масштабирования параметра. Важным примером, когда выполняется локальная асимптотическая нормальность, является случай независимой и одинаково распределённой выборки из регулярной параметрической модели; это, по сути, центральная предельная теорема. Барндорфф-Нильсон и Кокс дают прямое определение асимптотической нормальности.