Введение

Математическая концепция

В математике обратная функция функции f (также называемая инверсией f) — это функция, которая отменяет действие функции f. Обратная функция к f существует тогда и только тогда, когда f является биекцией, и если она существует, обозначается как .

Для функции , её обратная функция имеет явное описание: она отображает каждый элемент в единственный элемент такой, что 1 = f(x) = y. В качестве примера рассмотрим функцию вещественного переменного, заданную как 1 = f(x) = 5x − 7. Можно рассматривать f как функцию, которая умножает свой аргумент на 5, а затем вычитает 7 из результата. Чтобы обратить это действие, нужно прибавить 7 к аргументу, а затем разделить результат на 5. Следовательно, обратная функция к f определяется как:

Определения

Пусть f — функция, областью определения которой является множество X, а областью значений — множество Y. Тогда f обратима, если существует функция g из Y в X такая, что для всех x из Y и для всех y из X выполняется g(y) = x тогда и только тогда, когда f(x) = y. Если f обратима, то существует ровно одна функция g, удовлетворяющая этому свойству. Функция g называется обратной к f и обычно обозначается как f⁻¹ — обозначение, введенное Джоном Фредериком Уильямом Гершелем в 1813 году. В соответствии с общепринятой нотацией, некоторые англоязычные авторы используют выражения, такие как sin⁻¹(x), для обозначения обратной функции синуса, примененной к x (фактически частичной обратной; см. ниже). Обратная функция здесь называется (положительной) функцией квадратного корня и обозначается √x.

Свойства

Поскольку функция является особым типом бинарного отношения, многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратного отношения.

Уникальность

Если для данной функции f существует обратная функция, то она единственна. Это следует из того, что обратная функция должна являться обратным отношением, которое полностью определяется функцией f.

Двусторонние инверсы

Инверс, являющийся одновременно левым и правым инверсом (двусторонним инверсом), если он существует, должен быть единственным. Действительно, если функция имеет левый и правый инверсы, то они оба представляют собой один и тот же двусторонний инверс, и его можно назвать просто инверсом. Если – левый инверс, а – правый инверс функции , для всех , то функция имеет двусторонний инверс тогда и только тогда, когда она биективна. Биективная функция f инъективна, следовательно, у неё есть левый инверс (если f – пустая функция, то она является собственным левым инверсом). f сюръективна, следовательно, у неё есть правый инверс. Как следует из вышесказанного, левый и правый инверсы совпадают. Если f имеет двусторонний инверс g, то g является одновременно левым и правым инверсом f, следовательно, f инъективна и сюръективна.