Кіріспе
Математикалық ұғым
Математикада, f функциясының кері функциясы (сонымен қатар f-тің керісі деп аталады) – f функциясының әрекетін кері қайтаратын функция. f-тің керісі тек қана f биективті болғанда ғана болады, және егер ол болса, келесідей белгіленеді:
-ке f функциясының керісі үшін, оны ашық түрде былай сипаттауға болады: ол әрбір элементті f(x) = y теңдеуін қанағаттандыратын бірегей x элементіне жібереді. Мысалы, f(x) = 5x − 7 арқылы берілген нақты айнымалының нақты мәнді функциясын қарастырайық. f функциясын кіріс шамасын 5-ке көбейтіп, нәтижесінен 7-ні шығарып алатын функция деп қарастыруға болады. Бұл әрекетті кері қайтару үшін, кіріс шамаға 7-ні қосып, нәтижесін 5-ке бөлу керек. Сондықтан, f функциясының керісі келесі функциямен анықталады:
Анықтамалар
f – өрісі X жиыны, ал кодоменасы Y жиыны болатын функция болсын. Егер f инвертибелді болса, онда Y жиынынан X жиынына бағытталған, кез келген x үшін және кез келген y үшін g(f(x)) = x және f(g(y)) = y теңдіктерін қанағаттандыратын g функциясы бар. Егер f инвертибелді болса, онда осы қасиетті қанағаттандыратын жалғыз ғана g функциясы болады. g функциясы f функциясының керісі деп аталады және әдетте f^(-1) деп белгіленеді, бұл белгіні Джон Фредерик Уильям Гершель 1813 жылы енгізген. Жалпы белгіге сәйкес, кейбір ағылшын авторлары x-ке қолданылатын синус функциясының керісін көрсету үшін sin^(−1)(x) сияқты өрнектерді пайдаланады (іс жүзінде бұл ішінара керісі; төменде қараңыз). Мұндағы кері функция (оң) квадрат түбір функциясы деп аталады және оны √x деп белгіленеді.
If f is invertible, then there is exactly one function g satisfying this property. The function g is called the inverse of f, and is usually denoted as f^( −1), a notation introduced by John Frederick William Herschel in 1813. In keeping with the general notation, some English authors use expressions like sin^(−1)(x) to denote the inverse of the sine function applied to x (actually a partial inverse; see below). The inverse function here is called the (positive) square root function and is denoted by .
Қасиеттері
Функция – ерекше бинарлық қатынас түрі болғандықтан, кері функцияның көптеген қасиеттері кері қатынастардың қасиеттерімен байланысты.
Бірегейлігі
Егер берілген f функциясы үшін кері функция болса, онда ол бірегей болады. Себебі кері функция f функциясымен толық анықталатын кері қатынас болуы тиіс.
Екі жақты керілер
Егер бар болса, сол және оң жақты кері (екі жақты кері) керісі бірегей болуы керек. Шындығында, егер функцияның сол жақ және оң жақ керісі болса, олар екеуі де бірдей екі жақты кері болады, сондықтан оны кері деп атауға болады. Егер сол жақты кері және оң жақты кері болса, барлық үшін .
A function has a two sided inverse if and only if it is bijective. A bijective function f is injective, so it has a left inverse (if f is the empty function, is its own left inverse). f is surjective, so it has a right inverse. By the above, the left and right inverse are the same. If f has a two sided inverse g, then g is a left inverse and right inverse of f, so f is injective and surjective.
Функцияның екі жақты керісі бар егер және тек қана ол біективті болса. Біективті f функциясы инъективті, сондықтан оның сол жақ керісі бар (егер f бос функция болса, ол өзінің сол жақ керісі болады). f сюръективті, сондықтан оның оң жақ керісі бар. Жоғарыда айтылғандай, сол және оң жақ керілер бірдей. Егер f екі жақты кері g-ге ие болса, онда g f-тің сол жақ және оң жақ керісі болады, сондықтан f инъективті және сюръективті.
A function has a two sided inverse if and only if it is bijective. A bijective function f is injective, so it has a left inverse (if f is the empty function, is its own left inverse). f is surjective, so it has a right inverse. By the above, the left and right inverse are the same. If f has a two sided inverse g, then g is a left inverse and right inverse of f, so f is injective and surjective.