Мера Гиббса: математическое описание и применение в статистической механике.

Введение

Математическая концепция
В математике мера Гиббса, названная в честь Джосии Вилларда Гиббса, является мерой вероятности, часто встречающейся во многих задачах теории вероятностей и статистической механики. Это обобщение канонического ансамбля на бесконечные системы. Канонический ансамбль задает вероятность того, что система X находится в состоянии x (эквивалентно, случайная величина X принимает значение x) как

Здесь E — функция, отображающая пространство состояний в действительные числа; в физических приложениях E(x) интерпретируется как энергия конфигурации x. Параметр β — свободный параметр; в физике он представляет собой обратную температуру. Нормирующая константа Z(β) — функция распределения. Однако в бесконечных системах полная энергия больше не является конечным числом и не может быть использована в традиционной конструкции распределения вероятностей канонического ансамбля. Традиционные подходы в статистической физике изучали предел интенсивных свойств при стремлении размера конечной системы к бесконечности (термодинамический предел). Когда энергетическую функцию можно представить в виде суммы слагаемых, каждое из которых зависит только от переменных конечной подсистемы, понятие меры Гиббса предоставляет альтернативный подход. Меры Гиббса были предложены теоретиками вероятностей, такими как Добрушин, Ланфорд и Руэлль, и обеспечили основу для непосредственного изучения бесконечных систем, вместо вычисления пределов для конечных систем. Мера является мерой Гиббса, если условные вероятности, которые она индуцирует на каждой конечной подсистеме, удовлетворяют условию согласованности: если все степени свободы за пределами конечной подсистемы фиксированы, то канонический ансамбль для подсистемы с такими граничными условиями совпадает с условными вероятностями в мере Гиббса, обусловленными фиксированными степенями свободы. Теорема Хаммерсли — Клиффорда подразумевает, что любая мера вероятности, удовлетворяющая свойству Маркова, является мерой Гиббса для соответствующего выбора (локально определенной) энергетической функции. Следовательно, мера Гиббса применима к широкому кругу задач за пределами физики, таких как сети Хопфилда, сети Маркова, логические сети Маркова и потенциальные игры с ограниченной рациональностью в теории игр и экономике. Мера Гиббса в системе с локальными (ограниченного радиуса действия) взаимодействиями максимизирует плотность энтропии при заданной ожидаемой плотности энергии; или, эквивалентно, она минимизирует плотность свободной энергии. Мера Гиббса бесконечной системы не обязательно является единственной, в отличие от канонического ансамбля конечной системы, который является единственным. Существование более чем одной меры Гиббса связано со статистическими явлениями, такими как нарушение симметрии и сосуществование фаз.

Here, E is a function from the space of states to the real numbers; in physics applications, E(x) is interpreted as the energy of the configuration x. The parameter β is a free parameter; in physics, it is the inverse temperature. The normalizing constant Z(β) is the partition function. However, in infinite systems, the total energy is no longer a finite number and cannot be used in the traditional construction of the probability distribution of a canonical ensemble. Traditional approaches in statistical physics studied the limit of intensive properties as the size of a finite system approaches infinity (the thermodynamic limit). When the energy function can be written as a sum of terms that each involve only variables from a finite subsystem, the notion of a Gibbs measure provides an alternative approach. Gibbs measures were proposed by probability theorists such as Dobrushin, Lanford, and Ruelle and provided a framework to directly study infinite systems, instead of taking the limit of finite systems. A measure is a Gibbs measure if the conditional probabilities it induces on each finite subsystem satisfy a consistency condition: if all degrees of freedom outside the finite subsystem are frozen, the canonical ensemble for the subsystem subject to these boundary conditions matches the probabilities in the Gibbs measure conditional on the frozen degrees of freedom. The Hammersley–Clifford theorem implies that any probability measure that satisfies a Markov property is a Gibbs measure for an appropriate choice of (locally defined) energy function. Therefore, the Gibbs measure applies to widespread problems outside of physics, such as Hopfield networks, Markov networks, Markov logic networks, and boundedly rational potential games in game theory and economics. A Gibbs measure in a system with local (finite range) interactions maximizes the entropy density for a given expected energy density; or, equivalently, it minimizes the free energy density. The Gibbs measure of an infinite system is not necessarily unique, in contrast to the canonical ensemble of a finite system, which is unique. The existence of more than one Gibbs measure is associated with statistical phenomena such as symmetry breaking and phase coexistence.

Статистическая физика

Набор мер Гиббса в системе всегда выпуклый, поэтому существует либо единственная мера Гиббса (в этом случае система называется "эргодической"), либо их бесконечно много (и система называется "неэргодической"). В неэргодическом случае меры Гиббса могут быть представлены в виде выпуклых комбинаций гораздо меньшего числа специальных мер Гиббса, известных как "чистые состояния" (не следует путать с родственным, но различным понятием чистых состояний в квантовой механике). В физических приложениях гамильтониан (функция энергии) обычно обладает некоторой локальностью, а чистые состояния характеризуются свойством кластерного разложения, согласно которому "далеко разделенные подсистемы" независимы. На практике физически реалистичные системы находятся в одном из этих чистых состояний. Если гамильтониан обладает симметрией, то единственная (т.е. эргодическая) мера Гиббса обязательно будет инвариантна относительно этой симметрии. Однако в случае множественных (т.е. неэргодических) мер Гиббса чистые состояния обычно не являются инвариантными относительно симметрии гамильтониана. Например, в бесконечной ферромагнитной модели Изинга ниже критической температуры существует два чистых состояния – состояние "в основном направленное вверх" и состояние "в основном направленное вниз", которые переходят друг в друга под действием симметрии модели.