Введение
В математике полиномы Шура, названные в честь Иссаи Шура, — это определенные симметричные полиномы от n переменных, индексированные разбиениями, которые обобщают элементарные симметричные полиномы и полные однородные симметричные полиномы. В теории представлений они являются характерами полиномиальных неприводимых представлений общих линейных групп. Полиномы Шура образуют линейный базис для пространства всех симметричных полиномов. Любое произведение полиномов Шура можно представить в виде линейной комбинации полиномов Шура с неотрицательными целыми коэффициентами; значения этих коэффициентов задаются комбинаторно правилом Литтлвуда — Ричардсона. В более общем случае, косые полиномы Шура связаны с парами разбиений и обладают схожими свойствами с полиномами Шура.
Связь с теорией представления
Полиномы Шура возникают в теории представлений симметрических групп, общих линейных групп и унитарных групп. Формула характеров Вейля подразумевает, что полиномы Шура являются характерами конечномерных неприводимых представлений общих линейных групп и помогает обобщить работы Шура на другие компактные и полупростые группы Ли. Для этого соотношения существует несколько выражений, одним из наиболее важных является разложение функций Шура sλ по симметричным степенным функциям. Если обозначить χ как характер представления симметрической группы, индексированного разбиением λ, вычисленный на элементах циклического типа, индексированных разбиением ρ, то
where ρ = (1r1, 2r2, 3r3, ) means that the partition ρ has rk parts of length k.
A proof of this can be found in R. Stanley's Enumerative Combinatorics Volume 2, Corollary 7.17.5. The integers χ can be computed using the Murnaghan–Nakayama rule.
где ρ = (1r1, 2r2, 3r3, ...) означает, что разбиение ρ имеет rk частей длины k. Доказательство этого можно найти в "Перечислительной комбинаторике" Р. Стэнли, том 2, следствие 7.17.5. Целые числа χ можно вычислить с помощью правила Мурнагана — Накаямы.
where ρ = (1r1, 2r2, 3r3, ) means that the partition ρ has rk parts of length k.
A proof of this can be found in R. Stanley's Enumerative Combinatorics Volume 2, Corollary 7.17.5. The integers χ can be computed using the Murnaghan–Nakayama rule.
Методы доказательства положительности Schur
Существует несколько подходов к доказательству Шуровской позитивности данной симметричной функции F.
Если F задана комбинаторно, то прямой подход заключается в построении биекции с полустандартными диаграммами Янга. Соответствие Эдельмана — Грина и соответствие Робинсона — Шенстеда — Кнута являются примерами таких биекций. Биекция с более сложной структурой представляет собой доказательство с использованием так называемых кристаллов. Этот метод можно описать как определение определенной графовой структуры, заданной локальными правилами на базовых комбинаторных объектах. Схожая идея лежит в основе понятия двойственной эквивалентности. Этот подход также использует графовую структуру, но уже на объектах, представляющих разложение в фундаментальной квазисимметричной базе. Он тесно связан с соответствием РСК.
If F is described in a combinatorial manner, a direct approach is to produce a bijection with semi standard Young tableaux. The Edelman–Greene correspondence and the Robinson–Schensted–Knuth correspondence are examples of such bijections. A bijection with more structure is a proof using so called crystals. This method can be described as defining a certain graph structure described with local rules on the underlying combinatorial objects. A similar idea is the notion of dual equivalence. This approach also uses a graph structure, but on the objects representing the expansion in the fundamental quasisymmetric basis. It is closely related to the RSK correspondence.