Введение

В комбинаторной математике большое множество положительных целых чисел – это такое множество, для которого бесконечная сумма обратных величин расходится. Малым множеством называется любое подмножество положительных целых чисел, которое не является большим, то есть, сумма обратных величин которого сходится. Большие множества возникают в теореме Мюнца — Са́ша и в гипотезе Эрдёша об арифметических прогрессиях.

Примеры

Каждое конечное подмножество положительных целых чисел мало. Множество всех положительных целых чисел — это большое множество; это утверждение эквивалентно расходимости гармонического ряда. В более общем случае, любая арифметическая прогрессия (т. е. множество всех целых чисел вида an + b, где a ≥ 1, b ≥ 1 и n = 0, 1, 2, 3, ...) является большим множеством. Множество квадратов чисел мало (см. Базельскую задачу). То же самое относится к множеству кубов чисел, множеству четвёртых степеней и так далее. В более общем виде, множество положительных целых значений любого многочлена степени 2 или выше образует малое множество. Множество {1, 2, 4, 8, ...} степеней 2 является малым множеством, как и любая геометрическая прогрессия (т. е. множество чисел вида abn, где a ≥ 1, b ≥ 2 и n = 0, 1, 2, 3, ...). Множество простых чисел велико. Множество парных простых чисел мало (см. постоянную Бруна). Множество простых степеней, которые не являются простыми (т. е. все числа вида pn, где n ≥ 2 и p — простое число), мало, хотя сами простые числа велики. Это свойство часто используется в аналитической теории чисел. В более общем смысле, множество совершенных степеней мало; даже множество мощных чисел мало. Множество чисел, разложения которых в заданной системе счисления не содержат заданной цифры, мало. Например, множество целых чисел, десятичное разложение которых не включает цифру 7, мало. Такие ряды называются рядами Кемпнера. Любое множество, чья верхняя асимптотическая плотность отлична от нуля, является большим.

Свойства

Каждое подмножество малого множества мало. Объединение конечного числа малых множеств мало, поскольку сумма двух сходящихся рядов является сходящимся рядом. (В терминологии теории множеств, малые множества образуют идеал.) Дополнение к любому малому множеству велико. Теорема Мюнца — Шаза утверждает, что множество велико тогда и только тогда, когда множество полиномов, порожденных этим множеством, плотно в равномерной метрике нормы непрерывных функций на замкнутом интервале положительных действительных чисел. Это обобщение теоремы Стоуна — Вейерштрасса.

Открытые задачи с большими множествами

Пол Эрдош предположил, что в любом достаточно большом множестве можно найти арифметическую прогрессию любой заданной длины. Он предлагал приз в 3000 долларов за доказательство этой гипотезы, что было больше, чем за доказательство любой другой его гипотезы, и шутил, что это предложение о вознаграждении нарушает закон о минимальной заработной плате. Вопрос остаётся открытым. В общем случае неизвестно, как определить, является ли данное множество большим или малым. В результате существует множество множеств, для которых неизвестно, большие они или малые.