Введение
Неабелева группа порядка 120
В математике, двоичная икосаэдрическая группа 2I или является определённой неабелевой группой порядка 120. Она является расширением икосаэдрической группы I или (2,3,5) порядка 60 циклической группой порядка 2 и представляет собой прообраз икосаэдрической группы при 2:1 накрывающем гомоморфизме специальной ортогональной группы на спиновую группу. Следовательно, двоичная икосаэдрическая группа является дискретной подгруппой Spin(3) порядка 120. Её не следует путать с полной икосаэдрической группой, которая является другой группой порядка 120 и является подгруппой ортогональной группы O(3). В алгебре кватернионов двоичная икосаэдрическая группа конкретно реализуется как дискретная подгруппа версоров, то есть кватернионов единичной нормы. Более подробную информацию можно найти в разделе «Кватернионы и пространственные вращения».
In mathematics, the binary icosahedral group 2I or is a certain nonabelian group of order 120. It is an extension of the icosahedral group I or (2,3,5) of order 60 by the cyclic group of order 2, and is the preimage of the icosahedral group under the 2:1 covering homomorphism
of the special orthogonal group by the spin group. It follows that the binary icosahedral group is a discrete subgroup of Spin(3) of order 120. It should not be confused with the full icosahedral group, which is a different group of order 120, and is rather a subgroup of the orthogonal group O(3). In the algebra of quaternions, the binary icosahedral group is concretely realized as a discrete subgroup of the versors, which are the quaternions of norm one. For more information see Quaternions and spatial rotations.
Сверхсовершенно.
Двойная икосаэдрическая группа совершенна, то есть равна своей коммутаторной подгруппе. Фактически, 2I — единственная совершенная группа порядка 120. Из этого следует, что 2I не разрешима. Кроме того, двойная икосаэдрическая группа является суперсовершенной, что абстрактно означает, что её первые две группы гомологии равны нулю: конкретно, это означает, что её абелизация тривиальна (у неё нет нетривиальных абелевых факторгрупп) и что её мультипликатор Шура тривиален (у неё нет нетривиальных совершенных центральных расширений). Фактически, двойная икосаэдрическая группа является наименьшей (нетривиальной) суперсовершенной группой. Однако двойная икосаэдрическая группа не является ациклической, поскольку Hn(2I,Z) циклическая порядка 120 при n = 4k+3 и тривиальна при всех остальных n > 0.
Изоморфизмы
Конкретно, бинарная икосаэдрическая группа является подгруппой Spin(3) и покрывает икосаэдрическую группу, которая является подгруппой SO(3). Абстрактно, икосаэдрическая группа изоморфна симметриям 4-симплекса, который является подгруппой SO(4), а бинарная икосаэдрическая группа изоморфна двойному покрытию этого в Spin(4). Следует отметить, что симметрическая группа действительно имеет 4-мерное представление (её обычное наименьшее размерное неприводимое представление как полные симметрии симплекса), и что полные симметрии 4-симплекса, таким образом, не совпадают с полной икосаэдрической группой (это две различные группы порядка 120). Бинарная икосаэдрическая группа может рассматриваться как двойное покрытие чередующейся группы, обозначаемой , и этот изоморфизм покрывает изоморфизм икосаэдрической группы с чередующейся группой. Так же, как является дискретной подгруппой , является дискретной подгруппой двойного покрытия , а именно . Гомоморфизм 2:1 из в тогда ограничивается гомоморфизмом 2:1 из в .
One can show that the binary icosahedral group is isomorphic to the special linear group SL(2,5) — the group of all 2×2 matrices over the finite field F5 with unit determinant; this covers the exceptional isomorphism of with the projective special linear group PSL(2,5). Note also the exceptional isomorphism which is a different group of order 120, with the commutative square of SL, GL, PSL, PGL being isomorphic to a commutative square of which are isomorphic to subgroups of the commutative square of Spin(4), Pin(4), SO(4), O(4).
Можно показать, что бинарная икосаэдрическая группа изоморфна специальной линейной группе SL(2,5) — группе всех 2×2 матриц над конечным полем F5 с определителем, равным единице; это покрывает исключительный изоморфизм с проективной специальной линейной группой PSL(2,5). Обратите внимание также на исключительный изоморфизм , который представляет собой другую группу порядка 120, при этом коммутативный квадрат SL, GL, PSL, PGL изоморфен коммутативному квадрату , элементы которого изоморфны подгруппам коммутативного квадрата Spin(4), Pin(4), SO(4), O(4).
One can show that the binary icosahedral group is isomorphic to the special linear group SL(2,5) — the group of all 2×2 matrices over the finite field F5 with unit determinant; this covers the exceptional isomorphism of with the projective special linear group PSL(2,5). Note also the exceptional isomorphism which is a different group of order 120, with the commutative square of SL, GL, PSL, PGL being isomorphic to a commutative square of which are isomorphic to subgroups of the commutative square of Spin(4), Pin(4), SO(4), O(4).
Отношение к 4-мерным группам симметрии
Четырехмерный аналог икосаэдрической группы симметрии Ih является группой симметрии 600-ячейки (а также ее двойственной, 120-ячейки). Подобно тому, как первая является группой Коксетера типа H3, вторая является группой Коксетера типа H4, также обозначаемой [3,3,5]. Ее вращательная подгруппа, обозначаемая [3,3,5]+, представляет собой группу порядка 7200, действующую в SO(4). SO(4) имеет двойное накрытие, называемое Spin(4), аналогично тому, как Spin(3) является двойным накрытием SO(3). Подобно изоморфизму Spin(3) = Sp(1), группа Spin(4) изоморфна Sp(1) × Sp(1). Прообраз [3,3,5]+ в Spin(4) (четырехмерный аналог 2I) является точно группой произведений 2I × 2I порядка 14400. Вращательная группа симметрии 600-ячейки тогда равна [3,3,5]+ = (2I × 2I) / { ±1 }. Различные другие 4-мерные группы симметрии могут быть построены из 2I. Подробности см. в (Conway and Smith, 2003).
[3,3,5]+ = ( 2I × 2I ) / { ±1 }. Various other 4 dimensional symmetry groups can be constructed from 2I. For details, see (Conway and Smith, 2003).
Приложения
Косетное пространство Spin(3) / 2I = S³ / 2I является сферическим 3-многообразием, называемым сферой Понкаре. Это пример гомологической сферы, то есть 3-многообразия, группы гомологии которого совпадают с группами гомологии 3-сферы. Фундаментальная группа сферы Понкаре изоморфна бинарной икосаэдрической группе, так как сфера Понкаре является факторпространством 3-сферы по бинарной икосаэдрической группе.