Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Латинские квадраты и квазигруппы — эквивалентные математические объекты, хотя латинские квадраты носят комбинаторный характер, а квазигруппы — более алгебраический. Ниже будут рассмотрены примеры для очень малых порядков, где порядок соответствует длине стороны квадрата или числу элементов в эквивалентной квазигруппе.
Latin squares and quasigroups are equivalent mathematical objects, although the former has a combinatorial nature while the latter is more algebraic. The listing below will consider the examples of some very small orders, which is the side length of the square, or the number of elements in the equivalent quasigroup.
Эквивалентность
При условии, что квазигруппа Q содержит n элементов, ее таблица Кейли (почти всегда называемая таблицей умножения) представляет собой таблицу размером (n + 1) × (n + 1) с границами: верхняя строка – заголовки столбцов, а левый столбец – заголовки строк. Удаление границ дает массив n × n, являющийся латинским квадратом. Этот процесс можно обратить: начиная с латинского квадрата, можно добавить ограничивающую строку и столбец, чтобы получить таблицу умножения квазигруппы. Хотя способ добавления этих границ может быть выбран произвольно, квазигруппы, полученные разными способами, иногда эквивалентны в смысле, который будет определен ниже.
Given a quasigroup Q with n elements, its Cayley table (almost universally called its multiplication table) is an (n + 1) × (n + 1) table that includes borders; a top row of column headers and a left column of row headers. Removing the borders leaves an n × n array that is a Latin square. This process can be reversed, starting with a Latin square, introduce a bordering row and column to obtain the multiplication table of a quasigroup. While there is complete arbitrariness in how this bordering is done, the quasigroups obtained by different choices are sometimes equivalent in the sense given below.
Изотопные квазигруппы
Пусть (Q,∘) и (R,∗) будут двумя квазигруппами. Упорядоченная тройка (f,g,h) биекций из Q в R называется изотопизмом (Q,∘) на (R,∗), если 1 = f(x) ∗ g(y) = h(x ∘ y) для всех x, y из Q. Такие квазигруппы называются изотопическими. Если в приведенном выше определении 1 = f = g = h, то квазигруппы называются изоморфными.
Let (Q,∘) and (R,∗) be two quasigroups. An ordered triple (f,g,h) of bijections from Q onto R is called an isotopism of (Q,∘) onto (R,∗) if 1=f(x) ∗ g(y) = h(x ∘ y) for all x, y in G. Such quasigroups are said to be isotopic. If in the above definition 1=f = g = h then the quasigroups are said to be isomorphic.
Обозначение
Набор символов, используемых в латинском квадрате (или квазигруппе), является произвольным, и отдельные символы не имеют никакого значения, даже если они могут иметь значение в других контекстах. Поэтому, поскольку наиболее часто встречаются наборы символов {1, 2, …, n} или {0, 1, …, n − 1}, важно помнить, что эти символы не несут никакого численного значения. Чтобы подчеркнуть это, в небольших латинских квадратах иногда используют буквы алфавита в качестве набора символов.
The set of symbols used in a Latin square (or quasigroup) is arbitrary and individual symbols carry no meaning, even if they may have a meaning in other contexts. Thus, since it is most common to see the symbol sets {1,2, , n} or {0,1, , n − 1} used, one must remember that these symbols carry no numerical meaning. To stress this point, small Latin squares sometimes use letters of the alphabet as a symbol set.
Изотопные инварианты
Количество различных подструктур в латинском квадрате может быть полезно для их различения. Некоторые из этих чисел одинаковы для каждого изотопа латинского квадрата и называются инвариантами изотопии. Одним из таких инвариантов является число подквадратов 2 × 2, называемых интеркалатами. Другой – общее количество поперечных, то есть множества из n позиций в латинском квадрате порядка n, по одной в каждой строке и по одному в каждом столбце, не содержащих ни одного элемента дважды. Латинские квадраты с различными значениями этих чисел должны принадлежать к разным классам изотопии. Число интеркалатов также является основным инвариантом класса.
The counts of various substructures in a Latin square can be useful in distinguishing them from one another. Some of these counts are the same for every isotope of a Latin square and are referred to as isotopy invariants. One such invariant is the number of 2 × 2 subsquares, called intercalates. Another is the total number of transversals, a set of n positions in a Latin square of order n, one in each row and one in each column, that contain no element twice. Latin squares with different values for these counts must lie in different isotopy classes. The number of intercalates is also a main class invariant.
Порядок 1
Для первого порядка существует только один латинский квадрат с символом 1 и одна квазигруппа с базовым множеством {1}; это группа, тривиальная группа.
For order one there is only one Latin square with symbol 1 and one quasigroup with underlying set {1}; it is a group, the trivial group.
Приказы 6-10
Количество латинских квадратов демонстрирует явление, известное как комбинаторный взрыв, по мере увеличения порядка; даже небольшое увеличение размера соответствует огромному увеличению числа вариантов. Основные значения приведены в следующих двух таблицах, и Кейли в 1890 году знал количество приведённых латинских квадратов до пятого порядка. В 1915 году Макмахон подошёл к проблеме другим способом, но первоначально получил неверное значение для пятого порядка. М. Фролов в 1890 году и Тарри в 1901 году нашли число приведённых квадратов шестого порядка. М. Фролов дал неверное количество приведённых квадратов седьмого порядка. Р. А. Фишер и Ф. Йейтс, не зная о более ранних работах Э. Шёнхардта, привели число классов изотопии порядков до шести. В 1939 году Нортон нашёл 562 класса изотопии седьмого порядка, но признал, что его метод был неполным. А. Саде в 1951 году, но ранее опубликованный в частном порядке в 1948 году, и П. Н. Саксена обнаружили больше классов, а в 1966 году Д. А. Прийс отметил, что это исправило результат Нортона до 564 классов изотопии. Однако в 1968 году Дж. У. Браун объявил о неверном значении 563, которое часто повторялось. Он также указал неверное число классов изотопии восьмого порядка. Правильное число приведённых квадратов восьмого порядка уже было найдено М. Б. Уэллсом в 1967 году, а числа классов изотопии – в 1990 году Г. Колесовой, C. W. H. Ламом и Л. Тилем. Число приведённых квадратов для девятого порядка было получено С. Е. Баммелем и Дж. Ротштейном, для десятого порядка – Б. Д. Маккеем и Э. Рогойски, а для одиннадцатого порядка – Б. Д. Маккеем и И. М. Ванлесом.
The number of Latin squares, as the order increases, exhibits the phenomenon known as combinatorial explosion; for even small increases in size there correspond huge increases in varieties. The basic counts are given in the next two tables, and Cayley in 1890, both knew the number of reduced Latin squares up to order five. In 1915, MacMahon approached the problem in a different way, but initially obtained the wrong value for order five. M. Frolov in 1890, and Tarry in 1901, found the number of reduced squares of order six. M. Frolov gave an incorrect count of reduced squares of order seven. R. A. Fisher and F. Yates, unaware of earlier work of E. Schönhardt, gave the number of isotopy classes of orders up to six. In 1939, H. W. Norton found 562 isotopy classes of order seven, but acknowledged that his method was incomplete. A. Sade, in 1951, but privately published earlier in 1948, and P. N. Saxena found more classes and, in 1966, D. A. Preece noted that this corrected Norton's result to 564 isotopy classes. However, in 1968, J. W. Brown announced an incorrect value of 563, which has often been repeated. He also gave the wrong number of isotopy classes of order eight. The correct number of reduced squares of order eight had already been found by M. B. Wells in 1967, and the numbers of isotopy classes, in 1990, by G. Kolesova, C. W. H. Lam and L. Thiel. The number of reduced squares for order nine was obtained by S. E. Bammel and J. Rothstein, for order 10 by B. D. McKay and E. Rogoyski, and for order 11 by B. D. McKay and I. M. Wanless.