Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Распределение вероятности
Probability distribution
Нецентральное t-распределение обобщает t-распределение Стьюдента, используя параметр нецентральности. В то время как центральное распределение вероятностей описывает распределение статистики t при нулевой гипотезе, нецентральное распределение описывает распределение t при ложной нулевой гипотезе. Это обуславливает его применение в статистике, особенно при расчете статистической мощности. Нецентральное t-распределение также известно как одностороннее нецентральное t-распределение и, помимо основного применения в статистическом выводе, используется для робастного моделирования данных.
The noncentral t distribution generalizes Student's t distribution using a noncentrality parameter. Whereas the central probability distribution describes how a test statistic t is distributed when the difference tested is null, the noncentral distribution describes how t is distributed when the null is false. This leads to its use in statistics, especially calculating statistical power. The noncentral t distribution is also known as the singly noncentral t distribution, and in addition to its primary use in statistical inference, is also used in robust modeling for data.
Асимметрия
Нецентральное t-распределение асимметрично, за исключением случая, когда μ равен нулю, то есть представляет собой центральное t-распределение. Кроме того, асимметрия уменьшается с увеличением числа степеней свободы. При μ > 0 правый хвост будет тяжелее левого, и наоборот. Однако обычная асимметрия обычно не является надежной мерой асимметрии для этого распределения, поскольку при числе степеней свободы, не превышающем 3, третий момент вообще не существует. Даже если число степеней свободы больше 3, выборочная оценка асимметрии все равно остается очень неустойчивой, если размер выборки недостаточно велик.
The non central t distribution is asymmetric unless μ is zero, i. e., a central t distribution. In addition, the asymmetry becomes smaller the larger degree of freedom. The right tail will be heavier than the left when μ > 0, and vice versa. However, the usual skewness is not generally a good measure of asymmetry for this distribution, because if the degrees of freedom is not larger than 3, the third moment does not exist at all. Even if the degrees of freedom is greater than 3, the sample estimate of the skewness is still very unstable unless the sample size is very large.
Соответствующие распределения
Центральное t-распределение: центральное t-распределение можно привести к виду семейства местоположения/масштаба. Это семейство распределений используется в моделировании данных для описания различного поведения в хвостах распределения. Обобщение центрального t-распределения по местоположению/масштабу является отличным от нецентрального t-распределения, рассматриваемого в данной статье. В частности, данное приближение не учитывает асимметрию нецентрального t-распределения. Однако центральное t-распределение может быть использовано в качестве приближения к нецентральному t-распределению. Если T имеет нецентральное t-распределение с ν степенями свободы и параметром нецентральности μ, и F = T², то F имеет нецентральное F-распределение с 1 степенью свободы в числителе, ν степенями свободы в знаменателе и параметром нецентральности μ². Если T имеет нецентральное t-распределение с ν степенями свободы и параметром нецентральности μ, то Z имеет нормальное распределение со средним μ и единичной дисперсией. Когда параметр нецентральности знаменателя в двумерном нецентральном t-распределении равен нулю, оно сводится к нецентральному t-распределению.
Central t distribution: the central t distribution can be converted into a location/scale family. This family of distributions is used in data modeling to capture various tail behaviors. The location/scale generalization of the central t distribution is a different distribution from the noncentral t distribution discussed in this article. In particular, this approximation does not respect the asymmetry of the noncentral t distribution. However, the central t distribution can be used as an approximation to the noncentral t distribution. If T is noncentral t distributed with ν degrees of freedom and noncentrality parameter μ and F = T2, then F has a noncentral F distribution with 1 numerator degree of freedom, ν denominator degrees of freedom, and noncentrality parameter μ2. If T is noncentral t distributed with ν degrees of freedom and noncentrality parameter μ and , then Z has a normal distribution with mean μ and unit variance. When the denominator noncentrality parameter of a doubly noncentral t distribution is zero, then it becomes a noncentral t distribution.
Особые случаи
Когда μ = 0, нецентральное t-распределение переходит в центральное (t-распределение Стьюдента) с тем же числом степеней свободы.
When μ = 0, the noncentral t distribution becomes the central (Student's) t distribution with the same degrees of freedom.
Использование в пределах допустимых интервалов
Односторонние нормальные интервалы толерантности имеют точное решение, выраженное через выборочное среднее и выборочную дисперсию, основанное на нецентральном t-распределении. Это позволяет вычислить статистический интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится указанная доля генеральной совокупности, из которой производилась выборка.
One sided normal tolerance intervals have an exact solution in terms of the sample mean and sample variance based on the noncentral t distribution. This enables the calculation of a statistical interval within which, with some confidence level, a specified proportion of a sampled population falls.