Введение

Теорема спектральной декомпозиции автокорреляций стационарных процессов. В прикладной математике теорема Винера — Хинчина (или теорема Винера — Хинчина), также известная как теорема Винера — Хинчина — Эйнштейна или теорема Кинчина — Колмогорова, утверждает, что функция автокорреляции стационарного в широком смысле случайного процесса имеет спектральное разложение, определяемое спектральной плотностью мощности этого процесса.

История

Норберт Винер доказал эту теорему для случая детерминированной функции в 1930 году; Александр Хинчин позднее сформулировал аналогичный результат для стационарных случайных процессов и опубликовал этот вероятностный аналог в 1934 году. Альберт Эйнштейн объяснил идею, без доказательств, в краткой двухстраничной записке в 1914 году.

Применение

Теорема полезна для анализа линейных стационарных систем (LTI-систем), когда входные и выходные сигналы не являются квадратично интегрируемыми, и, следовательно, их преобразования Фурье не существуют. Следствием является то, что преобразование Фурье автокорреляционной функции выхода LTI-системы равно произведению преобразования Фурье автокорреляционной функции входа системы на квадрат модуля преобразования Фурье импульсной характеристики системы. Это работает даже в тех случаях, когда преобразования Фурье входных и выходных сигналов не существуют, поскольку эти сигналы не являются квадратично интегрируемыми, и, следовательно, входные и выходные сигналы системы не могут быть напрямую связаны преобразованием Фурье импульсной характеристики. Поскольку преобразование Фурье автокорреляционной функции сигнала является спектральной плотностью мощности сигнала, это следствие эквивалентно утверждению, что спектральная плотность мощности выхода равна спектральной плотности мощности входа, умноженной на функцию передачи энергии. Это следствие используется в параметрическом методе оценки спектральной плотности мощности.

Расхождения в терминологии

Во многих учебниках и в большей части технической литературы неявно предполагается, что обратное преобразование Фурье функции автокорреляции и спектральной плотности мощности допустимо, а теорема Винера — Хинчина излагается в очень упрощенном виде, как будто она утверждает, что преобразование Фурье функции автокорреляции равно спектральной плотности мощности, игнорируя все вопросы сходимости (что напоминает статью Эйнштейна). Однако теорему (в данной формулировке) Норберт Винер и Александр Хинчин применили к выборочным функциям (сигналам) широкостационарных случайных процессов, для сигналов которых преобразования Фурье не существуют. Вклад Винера состоял в том, чтобы придать смысл спектральному разложению функции автокорреляции выборочной функции широкостационарного случайного процесса, даже когда интегралы для преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье не имеют смысла. Дополнительную сложность представляет тот факт, что дискретное преобразование Фурье всегда существует для цифровых последовательностей конечной длины, что позволяет слепо применять теорему для вычисления автокорреляции числовых последовательностей. Как упоминалось ранее, связь этих дискретных выборочных данных с математической моделью часто вводит в заблуждение, и связанные с этим ошибки могут проявляться в виде расходимости при изменении длины последовательности. Некоторые авторы называют это функцией автоковариации. Затем они нормализуют ее, деля на , чтобы получить то, что они называют функцией автокорреляции.