Введение
Билинейное преобразование (также известное как метод Тустина, в честь Арнольда Тустина) используется в цифровой обработке сигналов и теории дискретного времени для преобразования представлений систем непрерывного времени в дискретное время и обратно. Билинейное преобразование является частным случаем конформного отображения (а именно преобразования Мёбиуса), часто применяемого для преобразования передаточной функции линейного, стационарного (LTI) фильтра в области непрерывного времени (часто называемого аналоговым фильтром) в передаточную функцию линейного, сдвигоинвариантного фильтра в области дискретного времени (часто называемого цифровым фильтром, хотя существуют аналоговые фильтры, построенные на основе переключаемых конденсаторов, которые являются фильтрами дискретного времени). Оно отображает точки на оси , , в s-плоскости в единичную окружность, , в z-плоскости. Другие билинейные преобразования могут использоваться для искажения частотной характеристики любой дискретной линейной системы (например, для аппроксимации нелинейного частотного разрешения человеческой слуховой системы) и могут быть реализованы в дискретной области путем замены единичных задержек системы фильтрами первого порядка, проходящими все частоты. Преобразование сохраняет устойчивость и отображает каждую точку частотной характеристики фильтра непрерывного времени, , в соответствующую точку частотной характеристики фильтра дискретного времени, , хотя и на несколько иную частоту, как показано в разделе «Искажение частоты» ниже. Это означает, что для каждой особенности, наблюдаемой в частотной характеристике аналогового фильтра, существует соответствующая особенность с идентичным коэффициентом усиления и фазовым сдвигом в частотной характеристике цифрового фильтра, но, возможно, на немного другой частоте. Это едва заметно на низких частотах, но становится очевидным на частотах, близких к частоте Найквиста.
The bilinear transform (also known as Tustin's method, after Arnold Tustin) is used in digital signal processing and discrete time control theory to transform continuous time system representations to discrete time and vice versa. The bilinear transform is a special case of a conformal mapping (namely, a Möbius transformation), often used for converting a transfer function of a linear, time invariant (LTI) filter in the continuous time domain (often named an analog filter) to a transfer function of a linear, shift invariant filter in the discrete time domain (often named a digital filter although there are analog filters constructed with switched capacitors that are discrete time filters). It maps positions on the axis, , in the s plane to the unit circle, , in the z plane. Other bilinear transforms can be used for warping the frequency response of any discrete time linear system (for example to approximate the non linear frequency resolution of the human auditory system) and are implementable in the discrete domain by replacing a system's unit delays with first order all pass filters. The transform preserves stability and maps every point of the frequency response of the continuous time filter, to a corresponding point in the frequency response of the discrete time filter, although to a somewhat different frequency, as shown in the Frequency warping section below. This means that for every feature that one sees in the frequency response of the analog filter, there is a corresponding feature, with identical gain and phase shift, in the frequency response of the digital filter but, perhaps, at a somewhat different frequency. This is barely noticeable at low frequencies but is quite evident at frequencies close to the Nyquist frequency.
Сохранение стабильности и минимальных фаз
Непрерывный причинный фильтр стабилен, если полюса его передаточной функции расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости s. Дискретный причинный фильтр стабилен, если полюса его передаточной функции находятся внутри единичной окружности в комплексной плоскости z. Билинейное преобразование отображает левую полуплоскость комплексной плоскости s во внутреннюю область единичной окружности в плоскости z. Следовательно, фильтры, разработанные в непрерывной области времени и являющиеся стабильными, при преобразовании становятся дискретными фильтрами, сохраняющими эту стабильность. Аналогично, непрерывный фильтр является фильтром минимальной фазы, если нули его передаточной функции расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости s. Дискретный фильтр является фильтром минимальной фазы, если нули его передаточной функции находятся внутри единичной окружности в комплексной плоскости z. Тогда то же свойство отображения гарантирует, что непрерывные фильтры минимальной фазы при преобразовании становятся дискретными фильтрами, сохраняющими это свойство минимальной фазы.