Введение

Фильтр с линейной характеристикой. Линейные фильтры обрабатывают изменяющиеся во времени входные сигналы для получения выходных сигналов, при соблюдении условия линейности. В большинстве случаев эти линейные фильтры также являются инвариантными ко времени (или инвариантными относительно сдвига), в этом случае их можно точно проанализировать с использованием теории систем ЛТИ ("линейных временных инвариантных"), что позволяет определить их передаточные функции в частотной области и импульсные характеристики во временной области. Реализация в реальном времени таких линейных фильтров обработки сигналов во временной области неизбежно является причинной, что накладывает дополнительное ограничение на их передаточные функции. Аналоговые электронные схемы, состоящие только из линейных компонентов (резисторов, конденсаторов, индукторов и линейных усилителей), обязательно подпадают под эту категорию, как и сопоставимые механические системы или системы цифровой обработки сигналов, содержащие только линейные элементы. Поскольку линейные временные инвариантные фильтры могут быть полностью охарактеризованы их реакцией на синусоиды различных частот (их частотной характеристикой), их иногда называют частотными фильтрами. Неработающие в реальном времени реализации линейных временных инвариантных фильтров не обязательно должны быть причинными. Также используются фильтры более чем одной размерности, например, в обработке изображений. Общая концепция линейной фильтрации распространяется и на другие области и технологии, такие как статистика, анализ данных и машиностроение.

Фильтры с бесконечным импульсным откликом

Рассмотрим физическую систему, действующую как линейный фильтр, например, систему пружин и масс или аналоговую электронную схему, включающую конденсаторы и/или индукторы (наряду с другими линейными компонентами, такими как резисторы и усилители). Когда такая система подвергается воздействию импульса (или любого сигнала конечной длительности), она отвечает выходным сигналом, продолжающимся дольше длительности входного сигнала, в конечном итоге затухая экспоненциально тем или иным образом, но никогда полностью не успокаиваясь до нуля (в математическом смысле). Такая система называется системой с бесконечным импульсным откликом (IIR). Интеграл свёртки (или суммация), представленный выше, простирается на всё время: T (или N) необходимо установить в бесконечность. Например, рассмотрим затухающий гармонический осциллятор, такой как маятник, или резонансный LC-контур. Если маятник находился в состоянии покоя, и мы ударим по нему молотком ("импульс"), приводя его в движение, он будет качаться вперед и назад ("резонировать") с амплитудой, скажем, 10 см. Через 10 минут, скажем, маятник всё ещё будет качаться, но амплитуда уменьшится до 5 см, то есть до половины первоначальной амплитуды. Ещё через 10 минут его амплитуда составит всего 2,5 см, затем 1,25 см и так далее. Однако он никогда не остановится полностью, и поэтому мы называем этот отклик на импульс (удар молотком) "бесконечным" по длительности. Сложность такой системы определяется её порядком N. N часто является ограничением при проектировании передаточной функции, поскольку он определяет количество реактивных компонентов в аналоговой схеме; в цифровом IIR-фильтре количество необходимых вычислений пропорционально N.

Вопросы внедрения

Классические аналоговые фильтры – это IIR-фильтры, а классическая теория фильтров сосредоточена на определении передаточных функций, задаваемых рациональными функциями низкого порядка, которые можно синтезировать, используя такое же небольшое количество реактивных компонентов. Однако, при использовании цифровых компьютеров, как FIR-, так и IIR-фильтры легко реализуются в программном обеспечении. Цифровой IIR-фильтр, как правило, может аппроксимировать желаемую характеристику фильтра, используя меньше вычислительных ресурсов, чем FIR-фильтр, но это преимущество часто оказывается ненужным, учитывая растущую мощность цифровых процессоров. Простота проектирования и анализа FIR-фильтров делает их более предпочтительными для разработчика фильтров (программиста) при наличии достаточных вычислительных ресурсов. Дополнительным преимуществом FIR-фильтров является возможность создания симметричного импульсного отклика, что обеспечивает линейную фазовую характеристику в частотной области на всех частотах (без учета конечной задержки), что абсолютно невозможно для любого IIR-фильтра.

Частотный отклик

Частотная характеристика или передаточная функция фильтра может быть получена, если известен импульсный отклик, или непосредственно посредством анализа с использованием преобразования Лапласа, либо, в дискретных системах, Z-преобразования. Частотная характеристика также включает фазу как функцию частоты, однако во многих случаях фазовый отклик представляет мало или не представляет никакого интереса. FIR-фильтры могут быть реализованы с нулевой фазой, но для IIR-фильтров это обычно невозможно. Для большинства IIR-передаточных функций существуют связанные передаточные функции, имеющие частотную характеристику с той же амплитудой, но с другой фазой; в большинстве случаев предпочтение отдается так называемой минимальнофазовой передаточной функции. Фильтры в частотной области чаще всего должны соответствовать заданным требованиям к частотной характеристике. Затем математическая процедура находит передаточную функцию фильтра, которая может быть реализована (в пределах определенных ограничений) и приближает желаемый отклик в соответствии с определенными критериями. Распространенные характеристики фильтров описываются следующим образом:

Фильтр нижних частот пропускает низкие частоты, блокируя более высокие. Фильтр верхних частот пропускает высокие частоты. Полосно-пропускной фильтр пропускает полосу (диапазон) частот. Фильтр подавления полосы пропускает высокие и низкие частоты вне указанной полосы. Фильтр с вырезом имеет нулевой отклик на определенной частоте. Эта функция может быть объединена с одной из вышеуказанных характеристик. Фильтр всепроходного типа пропускает все частоты одинаково хорошо, но изменяет фазовые соотношения между ними. Эквалайзер не предназначен для полного пропускания или блокирования какой-либо частоты, а вместо этого для постепенного изменения амплитудной характеристики в зависимости от частоты: хорошие примеры – фильтры предварительного акцентирования, эквалайзеры или регуляторы тембра.

Функции передачи FIR

Для удовлетворения требования к частотной характеристике с помощью FIR-фильтра используются относительно простые процедуры. В наиболее базовой форме, желаемая частотная характеристика может быть дискретизирована с разрешением и преобразована Фурье в область времени. Это позволяет получить коэффициенты фильтра hi, реализующие FIR-фильтр с линейной фазой, который соответствует частотной характеристике в точках дискретизации. Для более точного соответствия желаемой характеристике необходимо уменьшать . Однако, длительность импульсной характеристики фильтра и количество слагаемых, которые необходимо суммировать для каждого выходного значения (в соответствии с вышеуказанной дискретной сверткой), определяются как , где T – период дискретизации дискретной системы (N-1 также называется порядком FIR-фильтра). Таким образом, сложность цифрового фильтра и время вычислений растут обратно пропорционально , что увеличивает стоимость фильтров, более точно приближающих желаемое поведение. По той же причине, фильтры, критическая частота которых находится на более низких частотах (по сравнению с частотой дискретизации 1/T), требуют более высокого порядка и, следовательно, более вычислительно интенсивного FIR-фильтра. В таких случаях IIR-фильтр может оказаться гораздо более эффективным. Более подробное обсуждение методов проектирования практических FIR-фильтров можно найти в других источниках.

Функции передачи ИИР

Поскольку классические аналоговые фильтры являются IIR-фильтрами, существует давняя история изучения диапазона возможных частотных характеристик, реализующих различные из вышеуказанных желаемых фильтровых характеристик в системах непрерывного времени. С помощью преобразований можно преобразовать эти частотные характеристики непрерывного времени в характеристики, реализуемые в дискретном времени, для использования в цифровых IIR-фильтрах. Сложность любого такого фильтра определяется порядком N, который описывает порядок рациональной функции, описывающей частотную характеристику. Порядок N особенно важен в аналоговых фильтрах, поскольку электронный фильтр N-го порядка требует N реактивных элементов (конденсаторов и/или индукторов) для реализации. Если фильтр реализован с использованием, например, двухзвенных каскадов на операционных усилителях, потребуется N/2 каскадов. В цифровой реализации количество вычислений, выполняемых на один отсчет, пропорционально N. Таким образом, математическая задача состоит в получении наилучшего приближения (в некотором смысле) к желаемой характеристике, используя меньшее N, что мы сейчас проиллюстрируем. Ниже приведены частотные характеристики нескольких стандартных фильтровых функций, которые аппроксимируют желаемую характеристику, оптимизированные по определенному критерию. Это все фильтры пятого порядка, разработанные для частоты среза 0,5 в нормализованных единицах. Частотные характеристики показаны для фильтров Баттерворта, Чебышева, обратного Чебышева и эллиптических фильтров. Как видно из изображения, эллиптический фильтр имеет более крутой спад, чем другие, но за счет пульсаций как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Фильтр Баттерворта имеет наименее крутой спад, но обладает более ровной характеристикой, избегая пульсаций в полосе пропускания или задерживания. Фильтр Бесселя (не показан) имеет еще менее крутой спад в частотной области, но сохраняет наилучшую фазовую линейность сигнала. Различные приложения предъявляют различные требования к проектированию, что приводит к разному выбору среди этих (и других) оптимизаций или требует фильтра более высокого порядка.

Примеры реализации

Популярной схемой реализации активного RC-фильтра второго порядка является схема Sallen Key, принципиальная схема которой представлена здесь. Эта топология может быть адаптирована для создания фильтров нижних, полосовых и верхних частот. FIR-фильтр N-го порядка может быть реализован в дискретной системе времени с использованием компьютерной программы или специализированного оборудования, в котором входной сигнал проходит через N каскадов задержки. Выход фильтра формируется как взвешенная сумма этих задержанных сигналов, что показано на прилагаемой блок-схеме. Характеристика фильтра зависит от весовых коэффициентов, обозначаемых b0, b1, …, bN. Например, если все коэффициенты равны единице, то есть образуют так называемую прямоугольную функцию, то будет реализован фильтр нижних частот с низкочастотным усилением N+1 и частотной характеристикой, определяемой функцией sinc. Более оптимальные формы частотной характеристики могут быть получены с использованием коэффициентов, полученных в результате более сложного процесса проектирования.