Цепструм в Фурье-анализе: определение, применение в анализе речи и периодических структур спектра. Квефрентный анализ, лифтеринг и цепстральный анализ.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Понятие в анализе Фурье
Concept in Fourier analysis
В анализе Фурье цепструм (/'kɛpstrʌm/, /'sɛpstrəm/, /'sɛstrəm/; множественное число – цепстры, прилагательное – цепстральный) представляет собой результат вычисления обратного преобразования Фурье (ОПФ) от логарифма оцененного спектра сигнала. Этот метод является инструментом для исследования периодических структур в частотных спектрах. Мощный цепструм находит применение в анализе человеческой речи. Термин «цепструм» был получен путем обращения первых четырех букв слова «спектр». Операции над цепстрами называются анализом кофренции (или кофрентным анализом), лифтированием или цепстральным анализом. Его можно произносить двумя указанными способами, причем второй имеет преимущество, поскольку позволяет избежать путаницы с «kepstrum».
In Fourier analysis, the cepstrum ('/k//ɛ//p//s//t//r//ʌ//m//, /'/s//ɛ//p// //, // //s//t//r//ə//m/; plural cepstra, adjective cepstral) is the result of computing the inverse Fourier transform (IFT) of the logarithm of the estimated signal spectrum. The method is a tool for investigating periodic structures in frequency spectra. The power cepstrum has applications in the analysis of human speech. The term cepstrum was derived by reversing the first four letters of spectrum. Operations on cepstra are labelled quefrency analysis (or quefrency alanysis), liftering, or cepstral analysis. It may be pronounced in the two ways given, the second having the advantage of avoiding confusion with kepstrum.
Происхождение
Концепция цепстра была введена в 1963 году Б. П. Богертом, М. Дж. Хили и Дж. У. Таки. Такие эффекты связаны с заметными эхо или отражениями в сигнале, или с появлением гармонических частот (гармоник, обертонов). Математически она рассматривает задачу деконволюции сигналов в частотной области. Ссылки на работу Богерта в библиографиях часто редактируются некорректно. Термины "кефренси", "аланализ", "цепстр" и "сафэ" были придуманы авторами путем перестановки букв в словах "frequency", "analysis", "spectrum" и "phase". Придуманные термины определены по аналогии с более ранними терминами.
The concept of the cepstrum was introduced in 1963 by B. P. Bogert, M. J. Healy, and J. W. Tukey. Such effects are related to noticeable echos or reflections in the signal, or to the occurrence of harmonic frequencies (partials, overtones). Mathematically it deals with the problem of deconvolution of signals in the frequency space. References to the Bogert paper, in a bibliography, are often edited incorrectly. The terms "quefrency", "alanysis", "cepstrum" and "saphe" were invented by the authors by rearranging the letters in frequency, analysis, spectrum, and phase. The invented terms are defined in analogy to the older terms.
Комплексный цепструм
Комплексный цепструм был определён Оппенгеймом в рамках разработки теории гомоморфных систем. Формула также приведена в других источниках. Комплексный цепструм сохраняет информацию о фазе. Таким образом, всегда возможно вернуться из области коэфренции в область времени с помощью обратной операции: коэфренция является мерой, характеризующей время, хотя и не в смысле сигнала во временной области. Например, если частота дискретизации аудиосигнала составляет 44100 Гц и в цепструме наблюдается выраженный пик с коэфренцией в 100 отсчетов, этот пик указывает на наличие основной частоты, равной 44100/100 = 441 Гц. Этот пик возникает в цепструме, поскольку гармоники в спектре периодичны, а период соответствует основной частоте, так как гармоники являются целыми кратными основной частоты. Кепструм, расшифровывающийся как "Kolmogorov equation power series time response" (временная характеристика степенного ряда уравнения Колмогорова), аналогичен цепструму и имеет к нему такое же отношение, как математическое ожидание к статистическому среднему, то есть цепструм – это эмпирически измеренная величина, а кепструм – теоретическая. Он использовался до появления цепструма. Автоцепструм определяется как цепструм автокорреляции. Автоцепструм более точен, чем цепструм, при анализе данных, содержащих эхо. Продолжая игру слов, основанную на анаграммах, фильтр, работающий с цепструмом, можно назвать лифтером. Лифтер нижних частот аналогичен фильтру нижних частот в частотной области. Его можно реализовать путем умножения на окно в области коэфренции, а затем преобразования обратно в частотную область, что приводит к модифицированному сигналу, то есть к уменьшению эхосигнала.
The complex cepstrum was defined by Oppenheim in his development of homomorphic system theory. The formula is provided also in other literature. The complex cepstrum retains the information about the phase. Thus it is always possible to return from the quefrency domain to the time domain by the inverse operation: The quefrency is a measure of time, though not in the sense of a signal in the time domain. For example, if the sampling rate of an audio signal is 44100 Hz and there is a large peak in the cepstrum whose quefrency is 100 samples, the peak indicates the presence of a fundamental frequency that is 44100/100 = 441 Hz. This peak occurs in the cepstrum because the harmonics in the spectrum are periodic and the period corresponds to the fundamental frequency, since harmonics are integer multiples of the fundamental frequency. The kepstrum, which stands for "Kolmogorov equation power series time response", is similar to the cepstrum and has the same relation to it as expected value has to statistical average, i. e. cepstrum is the empirically measured quantity, while kepstrum is the theoretical quantity. It was in use before the cepstrum. The autocepstrum is defined as the cepstrum of the autocorrelation. The autocepstrum is more accurate than the cepstrum in the analysis of data with echoes. Playing further on the anagram theme, a filter that operates on a cepstrum might be called a lifter. A low pass lifter is similar to a low pass filter in the frequency domain. It can be implemented by multiplying by a window in the quefrency domain and then converting back to the frequency domain, resulting in a modified signal, i. e. with signal echo being reduced.
Интерпретация
Сепструм можно рассматривать как информацию о скорости изменения в различных спектральных диапазонах. Изначально он был разработан для характеристики сейсмических отражений, возникающих при землетрясениях и взрывах. Он также применялся для определения основного тона человеческой речи и анализа отраженных радиолокационных сигналов. Определение тональности по цепструму особенно эффективно, поскольку эффекты голосового возбуждения (тона) и вокального тракта (форманты) являются аддитивными в логарифме спектра мощности и, следовательно, чётко разделяются. В последнее время деконволюция на основе цепструма была применена к сигналам поверхностной электромиографии для удаления влияния стохастического импульсного потока, являющегося источником сигнала sEMG, из спектра мощности самого сигнала sEMG. Таким образом, сохранялась только информация о форме и амплитуде потенциала действия моторной единицы (MUAP), которая затем использовалась для оценки параметров временной модели самого MUAP. Кратковременный анализ цепструма был предложен Шрёдером и Ноллом в 1960-х годах для определения тональности человеческой речи.
The cepstrum can be seen as information about the rate of change in the different spectrum bands. It was originally invented for characterizing the seismic echoes resulting from earthquakes and bomb explosions. It has also been used to determine the fundamental frequency of human speech and to analyze radar signal returns. Cepstrum pitch determination is particularly effective because the effects of the vocal excitation (pitch) and vocal tract (formants) are additive in the logarithm of the power spectrum and thus clearly separate. Recently, cepstrum based deconvolution was used on surface electromyography signals, to remove the effect of the stochastic impulse train, which originates an sEMG signal, from the power spectrum of the sEMG signal itself. In this way, only information about the motor unit action potential (MUAP) shape and amplitude was maintained, which was then used to estimate the parameters of a time domain model of the MUAP itself. A short time cepstrum analysis was proposed by Schroeder and Noll in the 1960s for application to pitch determination of human speech.