Введение
В математике алгебра Ли называется нилпотентной, если её нижний центральный ряд обрывается в нулевой субальгебре. Нижний центральный ряд — это последовательность субальгебр. Обозначим , и для всех . Если нижний центральный ряд в конечном итоге достигает нулевой субальгебры, то алгебра Ли называется нилпотентной. Нижний центральный ряд для алгебр Ли аналогичен нижнему центральному ряду в теории групп, а нилпотентные алгебры Ли являются аналогами нилпотентных групп. Нилпотентные алгебры Ли — это те и только те, которые можно получить из абелевых алгебр Ли посредством последовательных центральных расширений. Следует отметить, что определение означает, что, рассматривая алгебру Ли как неассоциативную и не унитальную алгебру, она нилпотентна, если нилпотентна как идеал.
We write , and for all If the lower central series eventually arrives at the zero subalgebra, then the Lie algebra is called nilpotent. The lower central series for Lie algebras is analogous to the lower central series in group theory, and nilpotent Lie algebras are analogs of nilpotent groups. The nilpotent Lie algebras are precisely those that can be obtained from abelian Lie algebras, by successive central extensions. Note that the definition means that, viewed as a non associative non unital algebra, a Lie algebra is nilpotent if it is nilpotent as an ideal.
Строго верхние треугольные матрицы
Если $\mathbb{M}$ – множество $k \times k$ матриц с элементами в $\mathbb{F}$, то субалгебра, состоящая из строго верхнетреугольных матриц, является нильпотентной алгеброй Ли.
Алгебры Гейзенберга
Алгебра Гейзенберга нилпотентна. Например, в размерности 3, коммутатор двух матриц равен [ , ], где .
Субальгебра картана
Субальгебра Картана алгебры Ли является нильпотентной и самонормализующейся на странице 80. Условие самонормализуемости эквивалентно тому, что она является нормализатором алгебры Ли. Это означает, что она включает в себя верхнетреугольные матрицы и все диагональные матрицы в .
Другие примеры
Если алгебра Ли имеет автоморфизм простого периода, не имеющий неподвижных точек, кроме 0, то она нильпотентна.
Нилпотентные алгебры Ли разрешимы
Любая нилпотентная алгебра Ли является разрешимой. Это полезно при доказательстве разрешимости алгебры Ли, поскольку на практике обычно легче доказать нилпотентность (если она выполняется!) чем разрешимость. Однако, в общем случае, обратное утверждение неверно. Например, субалгебра из верхнетреугольных матриц (k ≥ 2), , является разрешимой, но не нилпотентной.
Субальгебры и изображения
Если алгебра Ли нильпотентна, то все её подалгебры и фактор-алгебры нильпотентны.
Нилпотенция коэффициента по центру
Если фактор-алгебра , где — центр , нильпотентна, то нильпотентна и сама . Иными словами, центральное расширение нильпотентной алгебры Ли нильпотентной алгеброй Ли является нильпотентным.
Теорема Энгеля
Теорема Энгельса: конечномерная алгебра Ли нилпотентна тогда и только тогда, когда все её элементы ад-нилпотентны.
Форма "Нулевое убийство"
Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли равна 0.
Имеют внешние автоморфизмы
Ненулевая нилпотентная алгебра Ли имеет внешний автоморфизм, то есть автоморфизм, не входящий в образ сопряженного представления.
Выведенные субальгебры разрешимых алгебр Ли
Полученная подальгебра конечномерной разрешимой алгебры Ли над полем характеристики 0 является нильпотентной.