Шиу Юен Ченг – известный гонконгский математик, профессор HKUST. Докторская степень получил в Беркли под руководством Шиин Шен Черна. Математика, образование.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Гонконгский математик
Hong Kong mathematician
Шиу Юэнь Чэн (鄭紹遠) — математик из Гонконга. В настоящее время он является заведующим кафедрой математики в Гонконгском университете науки и технологий. Чэн получил степень доктора философии в 1974 году под руководством Шиин Шен Черна в Калифорнийском университете в Беркли. После этого Чэн несколько лет работал постдоком и ассистент-профессором в Принстонском университете и Государственном университете Нью-Йорка в Стоуни-Бруке. Затем он стал профессором в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. В 1990-х годах Чэн возглавлял математические факультеты Китайского университета Гонконга и Гонконгского университета науки и технологий. В 2004 году он стал деканом факультета науки в HKUST. В 2012 году он был избран членом Американского математического общества. Он известен своими вкладами в дифференциальную геометрию и уравнения в частных производных, включая теорему сравнения собственных значений Чэна, теорему о максимальном диаметре Чэна и ряд работ совместно с Шин Тун Яу. Многие работы Чэна и Яу вошли в корпус исследований, за которые Яу был удостоен медали Филдса в 1982 году. По состоянию на 2020 год последняя исследовательская работа Чэна была опубликована в 1996 году.
Shiu Yuen Cheng (鄭紹遠) is a Hong Kong mathematician. He is currently the Chair Professor of Mathematics at the Hong Kong University of Science and Technology. Cheng received his Ph. D. in 1974, under the supervision of Shiing Shen Chern, from University of California at Berkeley. Cheng then spent some years as a post doctoral fellow and assistant professor at Princeton University and the State University of New York at Stony Brook. Then he became a full professor at University of California at Los Angeles. Cheng chaired the Mathematics departments of both the Chinese University of Hong Kong and the Hong Kong University of Science and Technology in the 1990s. In 2004, he became the Dean of Science at HKUST. In 2012, he became a fellow of the American Mathematical Society. He is well known for contributions to differential geometry and partial differential equations, including Cheng's eigenvalue comparison theorem, Cheng's maximal diameter theorem, and a number of works with Shing Tung Yau. Many of Cheng and Yau's works formed part of the corpus of work for which Yau was awarded the Fields medal in 1982. As of 2020, Cheng's most recent research work was published in 1996.
Оценки градиента и их применение
В 1975 году Шинг Тун Яу получил новую оценку градиента для решений эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка на некоторых полных римановых многообразиях. Ченг и Яу смогли локализовать оценку Яу, используя метод, разработанный Эухенио Калаби. Полученный результат, известный как оценка градиента Чэнь-Яу, широко используется в области геометрического анализа. Как следствие, Ченг и Яу смогли доказать существование собственной функции, соответствующей первому собственному значению оператора Лапласа-Бельтрами на полном римановом многообразии. Ченг и Яу применили ту же методологию для изучения пространственно-подобных гиперповерхностей пространства Минковского и геометрии гиперповерхностей в аффинном пространстве. Конкретным применением их результатов является теорема Бернштейна для замкнутых пространственно-подобных гиперповерхностей пространства Минковского с нулевой средней кривизной; любая такая гиперповерхность должна быть плоскостью. В 1916 году Герман Вейль обнаружил дифференциальное тождество для геометрических данных выпуклой поверхности в евклидовом пространстве. Применяя принцип максимума, он смог установить связь между внешней и внутренней геометрией. Ченг и Яу обобщили это на случай гиперповерхностей в римановых многообразиях.
In 1975, Shing Tung Yau found a novel gradient estimate for solutions of second order elliptic partial differential equations on certain complete Riemannian manifolds. Cheng and Yau were able to localize Yau's estimate by making use of a method developed by Eugenio Calabi. The result, known as the Cheng–Yau gradient estimate, is ubiquitous in the field of geometric analysis. As a consequence, Cheng and Yau were able to show the existence of an eigenfunction, corresponding to the first eigenvalue, of the Laplace Beltrami operator on a complete Riemannian manifold. Cheng and Yau applied the same methodology to understand spacelike hypersurfaces of Minkowski space and the geometry of hypersurfaces in affine space. A particular application of their results is a Bernstein theorem for closed spacelike hypersurfaces of Minkowski space whose mean curvature is zero; any such hypersurface must be a plane. In 1916, Hermann Weyl found a differential identity for the geometric data of a convex surface in Euclidean space. By applying the maximum principle, he was able to control the extrinsic geometry in terms of the intrinsic geometry. Cheng and Yau generalized this to the context of hypersurfaces in Riemannian manifolds.
Проблема Минковского и уравнение Монге-Ампера
Любая строго выпуклая замкнутая гиперповерхность в евклидовом пространстве ℝ^(n+1) может быть естественным образом рассмотрена как вложение n-мерной сферы посредством отображения Гаусса. Проблема Минковского ставит вопрос о том, может ли произвольная гладкая и положительная функция на n-мерной сфере быть реализована как скалярная кривизна римановой метрики, индуцированной таким вложением. Эта проблема была решена в 1953 году Луисом Ниренбергом для случая n = 2. В 1976 году Ченг и Яу решили проблему в общем случае. Используя преобразование Лежандра, решения уравнения Монжа-Ампера также дают выпуклые гиперповерхности евклидова пространства; скалярная кривизна внутренней метрики определяется правой частью уравнения Монжа-Ампера. Таким образом, Ченг и Яу смогли использовать своё решение проблемы Минковского для получения информации о решениях уравнений Монжа-Ампера. В качестве частного приложения они получили первую общую теорию существования и единственности для краевой задачи уравнения Монжа-Ампера. Луис Каффарелли, Ниренберг и Джоэл Спрак впоследствии разработали более гибкие методы для решения той же задачи.
Any strictly convex closed hypersurface in the Euclidean space ℝ^(n + 1) can be naturally considered as an embedding of the n dimensional sphere, via the Gauss map. The Minkowski problem asks whether an arbitrary smooth and positive function on the n dimensional sphere can be realized as the scalar curvature of the Riemannian metric induced by such an embedding. This was resolved in 1953 by Louis Nirenberg, in the case that n is equal to two. In 1976, Cheng and Yau resolved the problem in general. By the use of the Legendre transformation, solutions of the Monge Ampère equation also provide convex hypersurfaces of Euclidean space; the scalar curvature of the intrinsic metric is prescribed by the right hand sided of the Monge Ampère equation. As such, Cheng and Yau were able to use their resolution of the Minkowski problem to obtain information about solutions of Monge Ampère equations. As a particular application, they obtained the first general existence and uniqueness theory for the boundary value problem for the Monge Ampère equation. Luis Caffarelli, Nirenberg, and Joel Spruck later developed more flexible methods to deal with the same problem.