Введение

Понятие, пронизывающее большую часть инференциальной и описательной статистики.

Разложение суммы квадратов – это понятие, пронизывающее большую часть инференциальной и описательной статистики. Более точно, это разделение суммы квадратов отклонений или ошибок. Математически, сумма квадратов отклонений является ненормированной, или не скорректированной мерой разброса (также называемой изменчивостью). При масштабировании по числу степеней свободы она оценивает дисперсию, или степень рассеяния наблюдений относительно их среднего значения. Разделение суммы квадратов отклонений на различные компоненты позволяет отнести общую изменчивость в наборе данных к различным типам или источникам изменчивости, при этом относительная значимость каждого из них количественно определяется размером соответствующего компонента общей суммы квадратов.

Предыстория

Расстояние от любой точки в наборе данных до среднего значения данных является отклонением. Это можно записать как , где – i-я точка данных, а – оценка среднего значения. Если все такие отклонения возвести в квадрат и затем просуммировать, как в , то получится "сумма квадратов" для этих данных. При добавлении новых данных в коллекцию сумма квадратов обычно увеличивается, за исключением маловероятных случаев, когда новые данные равны среднему значению. Таким образом, сумма квадратов растет с увеличением размера набора данных, что является проявлением ее ненормированности. Во многих случаях число степеней свободы равно числу точек данных в коллекции минус один. Это записывается как n – 1, где n – количество точек данных. Масштабирование (также известное как нормализация) означает корректировку суммы квадратов таким образом, чтобы она не увеличивалась с ростом размера набора данных. Это важно при сравнении выборок разного размера, например, выборки из 100 человек с выборкой из 20 человек. Если бы сумма квадратов не была нормализована, ее значение всегда было бы больше для выборки из 100 человек, чем для выборки из 20 человек. Чтобы масштабировать сумму квадратов, ее делят на число степеней свободы, то есть вычисляют сумму квадратов на степень свободы, или дисперсию. Стандартное отклонение, в свою очередь, является квадратным корнем дисперсии. Описанное выше относится к использованию суммы квадратов в описательной статистике; подробнее о применении этого общего принципа в инференциальной статистике можно узнать в статье о полной сумме квадратов.

Дальнейшее разделение

Обратите внимание, что остаточная сумма квадратов может быть дополнительно разделена на сумму квадратов расхождения и сумму квадратов, обусловленную случайной ошибкой.