Диаграмма полюсов и нулей передаточной функции

Введение

Диаграмма, показывающая сингулярности передаточной функции заданной системы управления. В математике, обработке сигналов и теории управления, диаграмма полюсов и нулей является графическим представлением рациональной передаточной функции в комплексной плоскости, которое помогает определить определенные свойства системы, такие как:

Устойчивость
Причинная / антипричинная система
Область сходимости (ROC)
Минимальная фаза / не минимальная фаза

Диаграмма полюсов и нулей показывает расположение полюсов и нулей передаточной функции динамической системы в комплексной плоскости, например, контроллера, компенсатора, датчика, эквалайзера, фильтра или канала связи. По соглашению, полюса системы на диаграмме обозначаются крестиком (X), а нули – кружком (O). Диаграмма полюсов и нулей строится в плоскости комплексных частот, которая может представлять как систему непрерывного, так и дискретного времени:

Системы непрерывного времени используют преобразование Лапласа и отображаются на s-плоскости:
Компоненты реальной частоты расположены вдоль ее вертикальной оси (мнимая ось, где Re(s) = 0).
Дискретные системы времени используют Z-преобразование и отображаются на z-плоскости:
Компоненты реальной частоты расположены вдоль единичной окружности.

Регион сближения

Регион сходимости (ROC) для заданной непрерывной во временной области передаточной функции представляет собой полуплоскость или вертикальную полосу, ни одна из которых не содержит полюсов. В общем случае, ROC не является единственным, и конкретный ROC в каждом конкретном случае зависит от того, является ли система причинной или антипричинной. Если ROC включает мнимую ось, то система устойчива в смысле ограниченного входа – ограниченного выхода (BIBO). Если ROC простирается вправо от полюса с наибольшей действительной частью (но не до бесконечности), то система является причинной. Если ROC простирается влево от полюса с наименьшей действительной частью (но не до минус бесконечности), то система является антипричинной. Обычно ROC выбирают так, чтобы он включал мнимую ось, поскольку для большинства практических систем важна BIBO-устойчивость.

Регион сближения

Регион сходимости (ROC) для заданной дискретной функции передачи представляет собой диск или кольцо, не содержащее нескомпенсированных полюсов. В общем случае, ROC не является единственным, и конкретный ROC в каждом отдельном случае зависит от того, является ли система причинной или антипричинной. Если ROC включает единичную окружность, то система обладает устойчивостью по критерию ограниченного входа – ограниченного выхода (BIBO). Если ROC простирается наружу от полюса с наибольшей (но не бесконечной) модуля, то система имеет импульсную характеристику, определенную справа. Если ROC простирается наружу от полюса с наибольшей модуля и нет полюса в бесконечности, то система является причинной. Если ROC простирается внутрь от полюса с наименьшей (ненулевой) модуля, то система является антипричинной. ROC обычно выбирают так, чтобы он включал единичную окружность, поскольку для большинства практических систем важна устойчивость BIBO.