Квадратные числа в арифметической прогрессии и проблема конгруэнтности.
Congruum
Конгруум в теории чисел: разность между последовательными квадратами в арифметической прогрессии. Решение проблемы конгруумов и связь с треугольниками Пифагора.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Расстояние между равноотстоящими квадратными числами
Spacing between equally spaced square numbers
В теории чисел конгруум (множественное число – конгруумы) – это разность между последовательными квадратными числами в арифметической прогрессии, состоящей из трех квадратов. То есть, если , , и (для целых чисел , , и) – это три квадратных числа, равноудалённые друг от друга, то расстояние между ними, , называется конгруумом. Проблема конгруумов заключается в поиске квадратов в арифметической прогрессии и связанных с ними конгруумов. Фибоначчи уже знал, что конгруум не может сам быть квадратом, но не представил удовлетворительного доказательства этого факта. Геометрически это означает, что катеты одного прямоугольного треугольника не могут одновременно быть катетом и гипотенузой другого прямоугольного треугольника. Доказательство в конечном итоге было дано Пьером де Ферма, и результат теперь известен как теорема Ферма о прямоугольных треугольниках. Ферма также предположил, а Леонард Эйлер доказал, что не существует последовательности из четырех квадратов в арифметической прогрессии.
In number theory, a congruum (plural congrua) is the difference between successive square numbers in an arithmetic progression of three squares. That is, if , , and (for integers , , and ) are three square numbers that are equally spaced apart from each other, then the spacing between them, , is called a congruum. The congruum problem is the problem of finding squares in arithmetic progression and their associated congrua. Fibonacci was already aware that it is impossible for a congruum to itself be a square, but did not give a satisfactory proof of this fact. Geometrically, this means that it is not possible for the pair of legs of a Pythagorean triangle to be the leg and hypotenuse of another Pythagorean triangle. A proof was eventually given by Pierre de Fermat, and the result is now known as Fermat's right triangle theorem. Fermat also conjectured, and Leonhard Euler proved, that there is no sequence of four squares in arithmetic progression.
Параметризированный раствор
Проблема конгруума может быть решена путем выбора двух различных положительных целых чисел *m* и *n* (при *m* < *n*); тогда число *n² - m²* является конгруумом. Средний квадрат связанной арифметической прогрессии квадратов равен *m² + n²*, а два других квадрата можно найти, прибавляя или вычитая конгруум. Кроме того, умножение конгруума на квадратное число дает другой конгруум, прогрессия квадратов которого умножается на тот же фактор. Все решения возникают одним из этих двух способов. Например, конгруум 96 может быть получен по этим формулам при *m* = 4 и *n* = 10, в то время как конгруум 216 получается путем умножения меньшего конгруума 24 на квадратное число 9. Эквивалентная формулировка этого решения, предложенная Бернаром Френкилем де Бесси, заключается в том, что для трех квадратов в арифметической прогрессии *a²*, *b²* и *c²*, среднее число *b²* является гипотенузой пифагорейского треугольника, а два других числа *a²* и *c²* – соответственно разность и сумма катетов этого треугольника. Сам конгруум равен учетверенной площади этого пифагорейского треугольника. Пример арифметической прогрессии с конгруумом 96 может быть получен таким образом из прямоугольного треугольника со сторонами и гипотенузой длиной 6, 8 и 10.
The congruum problem may be solved by choosing two distinct positive integers and (with ); then the number is a congruum. The middle square of the associated arithmetic progression of squares is , and the other two squares may be found by adding or subtracting the congruum. Additionally, multiplying a congruum by a square number produces another congruum, whose progression of squares is multiplied by the same factor. All solutions arise in one of these two ways. For instance, the congruum 96 can be constructed by these formulas with and , while the congruum 216 is obtained by multiplying the smaller congruum 24 by the square number 9. An equivalent formulation of this solution, given by Bernard Frénicle de Bessy, is that for the three squares in arithmetic progression , , and , the middle number is the hypotenuse of a Pythagorean triangle and the other two numbers and are the difference and sum respectively of the triangle's two legs. The congruum itself is four times the area of the same Pythagorean triangle. The example of an arithmetic progression with the congruum 96 can be obtained in this way from a right triangle with side and hypotenuse lengths 6, 8, and 10.
Отношение к конгруэнтным числам
Соответствующее число определяется как площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами. Поскольку каждый конгруум может быть получен (с помощью параметризованного решения) как площадь пифагорова треугольника, следует, что каждый конгруум является соответствующим числом. И наоборот, каждое соответствующее число является конгруумом, умноженным на квадрат рационального числа. Однако проверка того, является ли число конгруумом, намного проще, чем проверка того, является ли число соответствующим числом. Для задачи о конгруумах параметризованное решение сводит эту задачу проверки к проверке конечного набора значений параметров. В отличие от этого, для задачи о соответствующих числах конечная процедура проверки известна лишь гипотетически, посредством теоремы Туннелла, при условии истинности гипотезы Бирча и Суиннертона-Дайера.
A congruent number is defined as the area of a right triangle with rational sides. Because every congruum can be obtained (using the parameterized solution) as the area of a Pythagorean triangle, it follows that every congruum is congruent. Conversely, every congruent number is a congruum multiplied by the square of a rational number. However, testing whether a number is a congruum is much easier than testing whether a number is congruent. For the congruum problem, the parameterized solution reduces this testing problem to checking a finite set of parameter values. In contrast, for the congruent number problem, a finite testing procedure is known only conjecturally, via Tunnell's theorem, under the assumption that the Birch and Swinnerton Dyer conjecture is true.