Введение
В материаловедении и механике твердого тела ортотропные материалы характеризуются тем, что их свойства материала в определенной точке различаются вдоль трех взаимно перпендикулярных осей, причем каждая ось обладает двукратной осью вращательной симметрии. Эти направленные различия в прочности могут быть количественно оценены с помощью уравнения Хэнкинсона. Они являются подмножеством анизотропных материалов, поскольку их свойства изменяются в зависимости от направления измерения. Хорошо известным примером ортотропного материала является древесина. В древесине в каждой точке можно определить три взаимно перпендикулярных направления, в которых свойства различны. Она наиболее жесткая (и прочная) вдоль волокон (продольного направления), поскольку большинство целлюлозных фибрилл выровнены именно таким образом. Обычно она наименее жесткая в радиальном направлении (между годичными кольцами) и обладает промежуточной жесткостью в тангенциальном направлении. Эта анизотропия является результатом эволюции, поскольку она наилучшим образом обеспечивает устойчивость дерева. Ввиду того, что предпочтительной системой координат является цилиндрическая полярная, этот тип ортотропии также называют полярной ортотропией. Другим примером ортотропного материала является листовой металл, полученный путем прокатки толстых заготовок металла между массивными валками. Это уплощает и вытягивает структуру зерен. В результате материал становится анизотропным — его свойства различаются в направлении прокатки и в каждом из двух поперечных направлений. Этот метод используется при изготовлении конструкционных стальных балок, а также в обшивке самолетов из алюминия. Если ортотропные свойства меняются от точки к точке внутри объекта, он обладает как ортотропией, так и неоднородностью. Это указывает на то, что ортотропия является свойством точки внутри объекта, а не свойства объекта в целом (если объект не однороден). Соответствующие плоскости симметрии также определены для небольшой области вокруг точки и не обязательно должны совпадать с плоскостями симметрии всего объекта. Ортотропные материалы являются подмножеством анизотропных материалов; их свойства зависят от направления, в котором они измеряются. Ортотропные материалы имеют три плоскости/оси симметрии. Изотропный материал, напротив, обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях. Можно доказать, что материал, имеющий две плоскости симметрии, должен иметь и третью. Изотропные материалы имеют бесконечное число плоскостей симметрии. Поперечно изотропные материалы — это особый вид ортотропных материалов, которые имеют одну ось симметрии (любая другая пара осей, перпендикулярных главной оси и взаимно ортогональных, также являются осями симметрии). Распространенным примером поперечно изотропного материала с одной осью симметрии является полимер, армированный параллельными стеклянными или графитовыми волокнами. Прочность и жесткость такого композитного материала обычно выше в направлении, параллельном волокнам, чем в поперечном направлении, а свойства в направлении толщины обычно аналогичны свойствам в поперечном направлении. Другим примером может служить биологическая мембрана, в которой свойства в плоскости мембраны отличаются от свойств в перпендикулярном направлении. Показано, что ортотропные свойства материала обеспечивают более точное представление об эластической симметрии кости, а также могут предоставить информацию о трехмерной направленности свойств материала на уровне ткани кости. Важно помнить, что материал, который является анизотропным в одном масштабе, может быть изотропным в другом (обычно большем) масштабе. Например, большинство металлов поликристаллические и состоят из очень мелких зерен. Каждое отдельное зерно может быть анизотропным, но если материал в целом состоит из множества зерен с произвольной ориентацией, то его измеренные механические свойства будут представлять собой среднее значение свойств по всем возможным ориентациям отдельных зерен.
In material science and solid mechanics, orthotropic materials have material properties at a particular point which differ along three orthogonal axes, where each axis has twofold rotational symmetry. These directional differences in strength can be quantified with Hankinson's equation. They are a subset of anisotropic materials, because their properties change when measured from different directions. A familiar example of an orthotropic material is wood. In wood, one can define three mutually perpendicular directions at each point in which the properties are different. It is most stiff (and strong) along the grain (axial direction), because most cellulose fibrils are aligned that way. It is usually least stiff in the radial direction (between the growth rings), and is intermediate in the circumferential direction. This anisotropy was provided by evolution, as it best enables the tree to remain upright. Because the preferred coordinate system is cylindrical polar, this type of orthotropy is also called polar orthotropy. Another example of an orthotropic material is sheet metal formed by squeezing thick sections of metal between heavy rollers. This flattens and stretches its grain structure. As a result, the material becomes anisotropic — its properties differ between the direction it was rolled in and each of the two transverse directions. This method is used to advantage in structural steel beams, and in aluminium aircraft skins. If orthotropic properties vary between points inside an object, it possesses both orthotropy and inhomogeneity. This suggests that orthotropy is the property of a point within an object rather than for the object as a whole (unless the object is homogeneous). The associated planes of symmetry are also defined for a small region around a point and do not necessarily have to be identical to the planes of symmetry of the whole object. Orthotropic materials are a subset of anisotropic materials; their properties depend on the direction in which they are measured. Orthotropic materials have three planes/axes of symmetry. An isotropic material, in contrast, has the same properties in every direction. It can be proved that a material having two planes of symmetry must have a third one. Isotropic materials have an infinite number of planes of symmetry. Transversely isotropic materials are special orthotropic materials that have one axis of symmetry (any other pair of axes that are perpendicular to the main one and orthogonal among themselves are also axes of symmetry). One common example of transversely isotropic material with one axis of symmetry is a polymer reinforced by parallel glass or graphite fibers. The strength and stiffness of such a composite material will usually be greater in a direction parallel to the fibers than in the transverse direction, and the thickness direction usually has properties similar to the transverse direction. Another example would be a biological membrane, in which the properties in the plane of the membrane will be different from those in the perpendicular direction. Orthotropic material properties have been shown to provide a more accurate representation of bone's elastic symmetry and can also give information about the three dimensional directionality of bone's tissue level material properties. It is important to keep in mind that a material which is anisotropic on one length scale may be isotropic on another (usually larger) length scale. For instance, most metals are polycrystalline with very small grains. Each of the individual grains may be anisotropic, but if the material as a whole comprises many randomly oriented grains, then its measured mechanical properties will be an average of the properties over all possible orientations of the individual grains.
Ортотропные свойства материала
Ортотропный материал имеет три ортогональные плоскости симметрии. Если мы выберем ортонормальную систему координат таким образом, чтобы оси совпадали с нормалями к этим трем плоскостям симметрии, то матрицы преобразования будут следующими:
Можно показать, что если матрица для материала инвариантна относительно отражения относительно двух ортогональных плоскостей, то она также инвариантна относительно отражения относительно третьей ортогональной плоскости. Рассмотрим отражение относительно плоскости . Тогда мы имеем:
Вышеуказанное соотношение подразумевает, что . Далее рассмотрим отражение относительно плоскости . Тогда мы имеем:
Это подразумевает, что . Следовательно, материальные свойства ортотропного материала описываются матрицей: