Введение
Дифференцируемое многообразие
В математике ниль-многообразие — это дифференцируемое многообразие, на котором действует транзитивная нильпотентная группа диффеоморфизмов. Следовательно, ниль-многообразие является примером однородного пространства и диффеоморфно факторпространству, то есть факторгруппе нильпотентной группы Ли N по замкнутой подгруппе H. Это понятие было введено Анатолием Мальцевым в 1949 году. Ниль-многообразия являются важными геометрическими объектами и часто встречаются в качестве конкретных примеров с интересными свойствами; в римановой геометрии эти пространства всегда имеют смешанную кривизну, почти плоские пространства возникают как факторпространства ниль-многообразий, а компактные ниль-многообразия использовались для построения элементарных примеров схлопывания римановых метрик под потоком Риччи. Помимо своей роли в геометрии, ниль-многообразия все чаще рассматриваются как играющие роль в арифметической комбинаторике (см. теорему Грина — Тао) и эргодической теории (см., например, работы Хоста — Кра).
In mathematics, a nilmanifold is a differentiable manifold which has a transitive nilpotent group of diffeomorphisms acting on it. As such, a nilmanifold is an example of a homogeneous space and is diffeomorphic to the quotient space , the quotient of a nilpotent Lie group N modulo a closed subgroup H. This notion was introduced by Anatoly Mal'cev in 1949.). Nilmanifolds are important geometric objects and often arise as concrete examples with interesting properties; in Riemannian geometry these spaces always have mixed curvature, almost flat spaces arise as quotients of nilmanifolds, and compact nilmanifolds have been used to construct elementary examples of collapse of Riemannian metrics under the Ricci flow. In addition to their role in geometry, nilmanifolds are increasingly being seen as having a role in arithmetic combinatorics (see Green–Tao) and ergodic theory (see, e. g., Host–Kra).
Компактные нильманифолды
Компактный нильманифольд – это нильманифольд, являющийся компактным. Один из способов построения таких пространств – начать с простосвязной нильпотентной группы Ли N и дискретной подгруппы Γ. Если подгруппа Γ действует кокомпактно (через правое умножение) на N, то фактор-многообразие N/Γ будет компактным нильманифольдом. Как показал Мальцев, каждый компактный нильманифольд получается таким образом. Такая подгруппа Γ называется решеткой в N. Хорошо известно, что нильпотентная группа Ли допускает решетку тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами: это критерий Мальцева. Не все нильпотентные группы Ли допускают решетки; для получения более подробной информации см. также работы М. С. Рагхунатана. Компактный риманов нильманифольд – это компактное риманово многообразие, локально изометричное нильпотентной группе Ли с левоинвариантной метрикой. Эти пространства строятся следующим образом. Пусть Γ – решетка в простосвязной нильпотентной группе Ли N, как описано выше. Наделим N левоинвариантной (римановой) метрикой. Тогда подгруппа Γ действует изометриями на N через левое умножение. Следовательно, факторпространство N/Γ является компактным пространством, локально изометричным N. Примечание: это пространство естественным образом диффеоморфно компактным нильманифольдам, которые также возникают в качестве главных расслоений. Например, рассмотрим 2-ступенчатую нильпотентную группу Ли N, которая допускает решетку (см. выше). Пусть Z – коммутаторная подгруппа N. Обозначим размерность Z буквой p, а коразмерность Z – буквой q; то есть размерность N равна p+q. Известно (см. Рагхунатан), что Γ является решеткой в Z. Следовательно, Z является p-мерным компактным тором. Поскольку Z центральна в N, группа N действует на компактном нильманифольде N/Γ с факторпространством Z. Это базовое многообразие M является q-мерным компактным тором. Показано, что каждое главное расслоение над тором с тором в качестве волокна имеет такую форму, см. Более общо, компактный нильманифольд является расслоением тора над расслоением тора над тором. Как упоминалось выше, почти плоские многообразия тесно связаны с компактными нильманифольдами. Более подробную информацию можно найти в указанной статье.
nilmanifold is obtained this way. Such a subgroup as above is called a lattice in N. It is well known that a nilpotent Lie group admits a lattice if and only if its Lie algebra admits a basis with rational structure constants: this is Mal'cev's criterion. Not all nilpotent Lie groups admit lattices; for more details, see also M. S. Raghunathan. A compact Riemannian nilmanifold is a compact Riemannian manifold which is locally isometric to a nilpotent Lie group with left invariant metric. These spaces are constructed as follows. Let be a lattice in a simply connected nilpotent Lie group N, as above. Endow N with a left invariant (Riemannian) metric. Then the subgroup acts by isometries on N via left multiplication. Thus the quotient is a compact space locally isometric to N. Note: this space is naturally diffeomorphic to
Compact nilmanifolds also arise as principal bundles. For example, consider a 2 step nilpotent Lie group N which admits a lattice (see above). Let be the commutator subgroup of N. Denote by p the dimension of Z and by q the codimension of Z; i. e. the dimension of N is p+q. It is known (see Raghunathan) that is a lattice in Z. Hence, is a p dimensional compact torus. Since Z is central in N, the group G acts on the compact nilmanifold with quotient space This base manifold M is a q dimensional compact torus. It has been shown that every principal torus bundle over a torus is of this form, see. More generally, a compact nilmanifold is a torus bundle, over a torus bundle, over over a torus. As mentioned above, almost flat manifolds are intimately compact nilmanifolds. See that article for more information.
Нилпотентные группы Ли
Из приведенного выше определения гомогенных нильманообразий ясно, что любая нильпотентная группа Ли с левоинвариантной метрикой является гомогенным нильманообразием. Наиболее известные нильпотентные группы Ли – это матричные группы, у которых диагональные элементы равны 1, а все элементы ниже главной диагонали – нули. Например, группа Гейзенберга является 2-шаговой нильпотентной группой Ли. Эта нильпотентная группа Ли также особенна тем, что допускает компактное фактор-пространство. Эта группа состоит из верхнетреугольных матриц с целочисленными коэффициентами. Получающееся нильманообразие является трехмерным. Одной из возможных фундаментальных областей является (изоморфная) [0,1]³ с соответствующим образом отождествленными гранями. Это объясняется тем, что элемент нильманообразия может быть представлен элементом из фундаментальной области. Здесь ⌊x⌋ обозначает целую часть x, а {x} – дробную часть. Появление здесь целой части является подсказкой о связи нильманообразий с аддитивной комбинаторикой: так называемые скобочные полиномы, или обобщенные полиномы, представляются важными для развития анализа Фурье высшего порядка.
Абелевы группы Ли
Более простым примером может служить любая абелева группа Ли. Это связано с тем, что любая такая группа является нильпотентной группой Ли. Например, можно взять группу вещественных чисел относительно сложения и дискретную кокомпактную подгруппу, состоящую из целых чисел. Получаемое 1-ступенчатое ниль-многообразие – это хорошо знакомый круг. Другим знакомым примером может быть компактный 2-тор или евклидово пространство относительно сложения.
Обобщения
Параллельная конструкция, основанная на разрешимых группах Ли, порождает класс пространств, называемых солв-многообразиями. Важным примером солв-многообразий являются поверхности Иноуэ, известные в комплексной геометрии.