Введение
Квазирегулярная тесселяция, заполняющая пространство
Чередующийся кубический сотовидный улей Тип Равномерный сотовидный улей Семейство Чередующийся гиперкубический сотовидный улей Симплектический сотовидный улей Индексация J21,31,51, A2W9, G1 Символы Шлефли h{4,3,4}{3[4]}ht0,3{4,3,4}h{4,4}h{∞}ht0,2{4,4}h{∞}h{∞}h{∞}s{∞}s{∞}s{∞} Диаграммы Коксетера = = = = Ячейки {3,3} {3,4} Грани треугольник {3} Фигура на ребре [{3,3}. {3,4}]2(прямоугольник) Фигура вершины (кубоктаэдр) Группа симметрии Fmm (225) Группа Коксетера [4,31,1] Двойственный улей Додекаэдрический ромбический додекаэдрический сотовидный улей Клетка: свойства Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, квазирегулярный сотовидный улей. Тетраэдрический октаэдрический сотовидный улей, чередующийся кубический сотовидный улей, является квазирегулярной тесселяцией, заполняющей пространство (или сотовидным ульем) в евклидовом 3-мерном пространстве. Он состоит из чередующихся правильных октаэдров и тетраэдров в соотношении 1:2. Другие названия включают полукубический сотовидный улей, полукубическую ячеистую структуру или тетрагональную дисфеноидальную ячеистую структуру. Джон Хортон Конвей называет этот улей тетроктаэдрилом, а его двойственный улей – додекаэдрилом. Р. Бакминстер Фуллер объединяет слова «октаэдр» и «тетраэдр» в «октетный ферменный каркас» – ромбоэдр, состоящий из одного октаэдра (или двух квадратных пирамид) и двух противоположных тетраэдров. Он вершинно-транзитивен, с 8 тетраэдрами и 6 октаэдрами вокруг каждой вершины. Он реберно-транзитивен, с 2 тетраэдрами и 2 октаэдрами, чередующимися на каждом ребре. Он является частью бесконечного семейства равномерных сотовидных ульев, называемых чередующимися гиперкубическими сотовидными ульями, образованных как чередование гиперкубического сотовидного улья и состоящих из полугиперкубов и граней в виде кросс-политопов. Он также является частью другого бесконечного семейства равномерных сотовидных ульев, называемых симплектическими сотовидными ульями. В этом случае 3-мерного пространства кубический сотовидный улей чередуется, уменьшая кубические ячейки до тетраэдров, а удаленные вершины создают октаэдрические пустоты. Таким образом, он может быть представлен расширенным символом Шлефли h{4,3,4}, поскольку содержит половину вершин кубического сотовидного улья {4,3,4}. Существует аналогичный сотовидный улей, называемый скрученным тетраэдрическим октаэдрическим сотовидным ульем, в котором слои повернуты на 60 градусов, так что половина ребер имеет соседние, а не чередующиеся тетраэдры и октаэдры. Симметрия тетраэдрического октаэдрического сотовидного улья может быть удвоена путем размещения тетраэдров на октаэдрических ячейках, создавая неравномерный сотовидный улей, состоящий из тетраэдров и октаэдров (в виде треугольных антипризм). Его фигура вершины является усеченным триакис-тетраэдром 3-го порядка. Этот сотовидный улей является двойственным улью триакис-усеченного тетраэдра, с ячейками триакис-усеченного тетраэдра.
Alternated cubic honeycomb TypeUniform honeycombFamilyAlternated hypercubic honeycombSimplectic honeycombIndexingJ21,31,51, A2W9, G1Schläfli symbolsh{4,3,4}{3[4]}ht0,3{4,3,4}h{4,4}h{∞}ht0,2{4,4}h{∞}h{∞}h{∞}h{∞}s{∞}s{∞}s{∞}Coxeter diagrams = = = = Cells{3,3} {3,4} Facestriangle {3}Edge figure[{3,3}. {3,4}]2(rectangle)Vertex figure(cuboctahedron)Symmetry groupFmm (225)Coxeter group, [4,31,1]DualDodecahedrillerhombic dodecahedral honeycombCell: Propertiesvertex transitive, edge transitive, quasiregular honeycomb
The tetrahedral octahedral honeycomb, alternated cubic honeycomb is a quasiregular space filling tessellation (or honeycomb) in Euclidean 3 space. It is composed of alternating regular octahedra and tetrahedra in a ratio of 1:2. Other names include half cubic honeycomb, half cubic cellulation, or tetragonal disphenoidal cellulation. John Horton Conway calls this honeycomb a tetroctahedrille, and its dual a dodecahedrille. R. Buckminster Fuller combines the two words octahedron and tetrahedron into octet truss, a rhombohedron consisting of one octahedron (or two square pyramids) and two opposite tetrahedra. It is vertex transitive with 8 tetrahedra and 6 octahedra around each vertex. It is edge transitive with 2 tetrahedra and 2 octahedra alternating on each edge. It is part of an infinite family of uniform honeycombs called alternated hypercubic honeycombs, formed as an alternation of a hypercubic honeycomb and being composed of demihypercube and cross polytope facets. It is also part of another infinite family of uniform honeycombs called simplectic honeycombs. In this case of 3 space, the cubic honeycomb is alternated, reducing the cubic cells to tetrahedra, and the deleted vertices create octahedral voids. As such it can be represented by an extended Schläfli symbol h{4,3,4} as containing half the vertices of the {4,3,4} cubic honeycomb. There is a similar honeycomb called gyrated tetrahedral octahedral honeycomb which has layers rotated 60 degrees so half the edges have neighboring rather than alternating tetrahedra and octahedra. The tetrahedral octahedral honeycomb can have its symmetry doubled by placing tetrahedra on the octahedral cells, creating a nonuniform honeycomb consisting of tetrahedra and octahedra (as triangular antiprisms). Its vertex figure is an order 3 truncated triakis tetrahedron. This honeycomb is the dual of the triakis truncated tetrahedral honeycomb, with triakis truncated tetrahedral cells.
С3 соломинки
Группа Коксетера [4,3,4] генерирует 15 перестановок однородных сотовых структур, 9 с различной геометрией, включая чередующийся кубический сотовый улей. Расширенный кубический сотовый улей (также известный как рунцинированный тессерактический сотовый улей) геометрически идентичен кубическому сотовому улью.
В3 соломинки
Группа Коксетера [4,31,1] генерирует 9 перестановок однородных сотовой структуры, 4 с различной геометрией, включая чередующуюся кубическую сотовую структуру.
А3 соломинки
Этот сотовый узор — один из пяти различных однородных сотовых узоров, построенных группой Коксетера. Симметрию можно умножить на симметрию циклов в диаграммах Коксетера — Динкина.
Четверть кубиля
Двойственным к рунцическому кубическому соту является четверть кубиля, с диаграммой Коксетера , с гранями, лежащими в 2 из 4 гиперплоскостей фундаментальной области симметрии [4,31,1]. Ячейки можно представить как 1/4 рассеченного куба, используя 4 вершины и центр. Вокруг 6 ребер существует по четыре ячейки, а вокруг 3 ребер – по три ячейки.
Половина пирамид
Двойственная к усечённой кубической сотовой называется полупирамидией, с диаграммой Коксетера. Грани существуют в 3 из 4 гиперплоскостей группы Коксетера [4,31,1]. Ячейки являются неправильными пирамидами и могут рассматриваться как 1/12 куба или 1/24 ромбического додекаэдра, каждая из которых определена тремя вершинами и центром куба.
Сродство с апирохедрами
Схожий однородный скошенный апейроэдр существует с тем же расположением вершин, но без треугольников и квадрата. Его можно представить как усечённые тетраэдры и усечённые кубы, объединённые вместе.
Строительство по чередованию
Геометрия может также быть построена с помощью операции чередования, примененной к гексагональному призматическому соту. Гексагональные призматические ячейки превращаются в октаэдры, а пустоты образуют треугольные бипирамиды, которые можно разделить на пары тетраэдров из этого сота. Этот сот с бипирамидами называется дитетраэдрическим октаэдрическим сотом. Существует 3 диаграммы Коксетера — Динкина, которые можно рассматривать как октаэдры, окрашенные в 1, 2 или 3 цвета.
Гиропротяженный чередующийся кубический сопло
Гироудлинённый чередующийся кубический сотовидный улей (или удлинённая треугольная антипризматическая ячейка) — это пространственное заполнение (или сотовидный улей) в евклидовом трёхмерном пространстве. Он состоит из октаэдров, треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2. Он вершинно-транзитивен, с 3 октаэдрами, 4 тетраэдрами и 6 треугольными призмами вокруг каждой вершины. Это один из 28 выпуклых однородных сотовидных ульев. Удлинённый чередующийся кубический сотовидный улей имеет такое же расположение ячеек у каждой вершины, но общая структура отличается. В удлинённой форме каждая призма соприкасается с тетраэдром на одной из треугольных граней и с октаэдром на другой; в гироудлинённой форме призма соприкасается с одним и тем же типом дельтаэдра на каждом конце.
The gyroelongated alternated cubic honeycomb or elongated triangular antiprismatic cellulation is a space filling tessellation (or honeycomb) in Euclidean 3 space. It is composed of octahedra, triangular prisms, and tetrahedra in a ratio of 1:2:2. It is vertex transitive with 3 octahedra, 4 tetrahedra, 6 triangular prisms around each vertex. It is one of 28 convex uniform honeycombs. The elongated alternated cubic honeycomb has the same arrangement of cells at each vertex, but the overall arrangement differs. In the elongated form, each prism meets a tetrahedron at one of its triangular faces and an octahedron at the other; in the gyroelongated form, the prism meets the same kind of deltahedron at each end.
Удлиненный чередующийся кубический сопло
Вытянутый чередующийся кубический улейТип Равномерный улейСимвол Шлефли h{4,3,4}:e{3,6}g1{∞}Ячейки {3,3} {3,4} (3.4.4) Гранитреугольник {3}квадрат {4}Вершинная фигура треугольный купол, соединенный с равнобедренной шестиугольной пирамидойГруппа симметрии [6,(3,2+,∞,2+)] ?Свойства вершинно-транзитивный
The elongated alternated cubic honeycomb or elongated triangular gyroprismatic cellulation is a space filling tessellation (or honeycomb) in Euclidean 3 space. It is composed of octahedra, triangular prisms, and tetrahedra in a ratio of 1:2:2. It is vertex transitive with 3 octahedra, 4 tetrahedra, 6 triangular prisms around each vertex. Each prism meets an octahedron at one end and a tetrahedron at the other. It is one of 28 convex uniform honeycombs. It has a gyrated form called the gyroelongated alternated cubic honeycomb with the same arrangement of cells at each vertex.
Вытянутый чередующийся кубический улей, или вытянутая треугольная гиропризматическая тесселяция, является пространственным заполнением (или сотом) в трехмерном евклидовом пространстве. Он состоит из октаэдров, треугольных призм и тетраэдров в соотношении 1:2:2. Он вершинно-транзитивен, с 3 октаэдрами, 4 тетраэдрами и 6 треугольными призмами вокруг каждой вершины. Каждая призма соединена с октаэдром с одной стороны и с тетраэдром с другой. Это один из 28 выпуклых равномерных ульев. Существует гирированная форма, называемая гировытянутым чередующимся кубическим ульем, с тем же расположением ячеек у каждой вершины.
The elongated alternated cubic honeycomb or elongated triangular gyroprismatic cellulation is a space filling tessellation (or honeycomb) in Euclidean 3 space. It is composed of octahedra, triangular prisms, and tetrahedra in a ratio of 1:2:2. It is vertex transitive with 3 octahedra, 4 tetrahedra, 6 triangular prisms around each vertex. Each prism meets an octahedron at one end and a tetrahedron at the other. It is one of 28 convex uniform honeycombs. It has a gyrated form called the gyroelongated alternated cubic honeycomb with the same arrangement of cells at each vertex.