Введение

Четырехмерный аналог тетраэдра, последовательность чисел пятого элемента треугольника Паскаля.

В геометрии 5-ячейка является выпуклым 4-мерным политопом с символом Шлефли {3,3,3}. Это четырехмерный объект с пятью вершинами, ограниченный пятью тетраэдрическими ячейками. Она также известна как C5, пентахорон, пентатоп, пентаэдроид или тетраэдрическая пирамида. Это 4-симплекс (политоп Коксетера), самый простой из возможных выпуклых 4-мерных политопов, и аналогичен тетраэдру в трех измерениях и треугольнику в двух измерениях. 5-ячейка представляет собой четырехмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием и четырьмя тетраэдрическими гранями. Правильная 5-ячейка ограничена пятью правильными тетраэдрами и является одним из шести правильных выпуклых 4-мерных политопов (четырехмерных аналогов платоновых тел). Правильную 5-ячейку можно построить из правильного тетраэдра, добавив пятую вершину на расстоянии, равном длине ребра, от всех вершин тетраэдра. Это невозможно сделать в трехмерном пространстве. Правильная 5-ячейка является решением следующей задачи: построить 10 равносторонних треугольников одинакового размера, используя 10 спичек, где каждая сторона каждого треугольника состоит ровно из одной спички, и ни один из треугольников и спичек не пересекаются. В трех измерениях решения не существует.

Геометрия

Пятиячейник — это четырёхмерный симплекс, самый простой из возможных четырёхмерных политопов. Как таковой, он является первым в последовательности из шести выпуклых правильных четырёхмерных политопов (в порядке размера и сложности). Пятиячейник образуется любыми пятью точками, не лежащими в одной гиперплоскости (так же, как тетраэдр образуется любыми четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости, а треугольник — любыми тремя точками, не лежащими на одной прямой). Любые пять таких точек образуют пятиячейник, хотя обычно это не правильный пятиячейник. Правильный пятиячейник не содержится ни в одном из других правильных выпуклых четырёхмерных политопов, за исключением одного: 600-вершинник, состоящий из 120 ячеек, является соединением из 120 правильных пятиячейников.

Структура

Когда сеть из пяти тетраэдров складывается в четырехмерном пространстве таким образом, что каждый тетраэдр имеет общую грань с четырьмя другими, полученная 5-ячейка имеет в общей сложности 5 вершин, 10 ребер и 10 граней. Четыре ребра сходятся в каждой вершине, и три тетраэдрические ячейки сходятся на каждом ребре. 5-ячейка самодвойственна (как и все симплексы), и ее вершинная фигура – тетраэдр. Ее максимальное пересечение с трехмерным пространством – треугольная призма. Ее двугранный угол равен arccos(1/sqrt(5)), или приблизительно 75,52°. Выпуклая оболочка двух 5-ячеек в двойственной конфигурации является дисфеноидальной 30-ячейкой, двойственной битронкированной 5-ячейке.

Геодезические системы и ротации

В 5-ячейке имеются только центральные плоскости дигонов, проходящие через вершины. Она содержит 10 дигонных центральных плоскостей, где каждая пара вершин является ребром, а не осью, 5-ячейки. Каждая плоскость дигона ортогональна трем другим, но полностью ортогональна ни одной из них. Характерное изоклиническое вращение 5-ячейки имеет в качестве пар инвариантных плоскостей эти 10 плоскостей дигонов и их полностью ортогональные центральные плоскости, которые являются 0-гонными плоскостями, не пересекающими ни одной вершины 5-ячейки. Существует только два способа построить цикл по 5-ячейке через все 5 вершин по 5 ребрам, следовательно, существуют две дискретные фибрации Хопфа больших дигонов 5-ячейки. Каждая из двух фибраций соответствует лево-правовой паре изоклинических вращений, каждое из которых вращает все 5 вершин в цикле периода 5. 5-ячейка имеет только два различных изоклина периода 5 (окружности, проходящие через все 5 вершин), каждый из которых выступает в качестве единственного изоклина правого вращения и единственного изоклина левого вращения в двух различных фибрациях. Ниже представлена вращающаяся 5-ячейка с четвертым измерением, сжатым и отображенным в виде цвета. Торус Клиффорда изображен в прямоугольной (оборачивающей) форме.

Боердиджк Коксеров спираль

Пятиклеточный элемент может быть построен как спираль Боерджайка — Кокстера из пяти последовательно соединенных тетраэдров, сложенных в четырехмерное кольцо. Десять треугольных граней можно увидеть в двумерной развертке в треугольной мозаике, с шестью треугольниками вокруг каждой вершины, хотя при складывании в четыре измерения ребра приходят в совмещение. Фиолетовые ребра образуют правильный пятиугольник, являющийся многоугольником Петри пятиклеточного элемента. Синие ребра соединяют каждую вторую вершину, образуя пентаграмму, которая является многоугольником Клиффорда пятиклеточного элемента. Синие ребра пентаграммы — это хорды изоклиновой линии пятиклеточного элемента, круговой траектории вращения, по которой движутся его вершины во время изоклинического вращения, также известного как сдвиг Клиффорда.

Прогнозы

Плоскость A4 Коксетера проецирует 5-ячейку в правильный пятиугольник и пентаграмму. Проекция плоскости Коксетера A3 из 5-ячейки представляет собой проекцию квадратной пирамиды. Проекция плоскости Коксетера A2 правильной 5-ячейки представляет собой проекцию треугольной бипирамиды (двух тетраэдров, соединенных по граням) с двумя противоположными вершинами, совмещенными в центре. Проекции в 3 измерения. Вершинная проекция 5-ячейки в 3 измерения имеет тетраэдрическую проекционную оболочку. Ближайшая вершина 5-ячейки проецируется в центр тетраэдра, как показано здесь красным цветом. Самая дальняя ячейка проецируется на саму тетраэдрическую оболочку, а остальные 4 ячейки проецируются на 4 сплющенные тетраэдрические области, окружающие центральную вершину. Проекция, начинающаяся с ребра, 5-ячейки в 3 измерения имеет треугольную дипирамидальную оболочку. Ближайшее ребро (показано здесь красным) проецируется на ось дипирамиды, при этом три окружающие его ячейки проецируются в 3 тетраэдрических объема, расположенных вокруг этой оси под углом 120 градусов друг к другу. Оставшиеся 2 ячейки проецируются на две половины дипирамиды и находятся на дальней стороне пентатопа. Проекция, начинающаяся с грани, 5-ячейки в 3 измерения также имеет треугольную дипирамидальную оболочку. Ближайшая грань показана здесь красным. Две ячейки, которые встречаются на этой грани, проецируются на две половины дипирамиды. Остальные три ячейки находятся на дальней стороне пентатопа с точки зрения 4D и опущены из изображения для ясности. Они расположены вокруг центральной оси дипирамиды, как и в проекции, начинающейся с ребра. Проекция, начинающаяся с ячейки, 5-ячейки в 3 измерения имеет тетраэдрическую оболочку. Ближайшая ячейка проецируется на всю оболочку и, с точки зрения 4D, скрывает остальные 4 ячейки; следовательно, они здесь не отображаются.

Нерегулярные 5-клеточные

В случае симплексов, таких как 5-ячейка, некоторые нерегулярные формы в определенном смысле более фундаментальны, чем регулярная форма. Хотя правильные 5-ячейки не могут заполнить 4-мерное пространство или правильные 4-политопы, существуют нерегулярные 5-ячейки, которые это могут. Эти характерные 5-ячейки являются фундаментальными областями различных групп симметрии, порождающих различные 4-политопы.

Соединение

Соединение двух 5-ячеек в двойной конфигурации можно увидеть на этой проекции плоскости Коксетера A5, с красными и синими вершинами и ребрами 5-ячеек. Это соединение обладает симметрией [[3,3,3]], порядок которой равен 240. Пересечение этих двух 5-ячеек представляет собой равностороннюю битронурованную 5-ячейку. = ∩
Это соединение можно рассматривать как 4D-аналог 2D-гексаграммы и 3D-соединение двух тетраэдров.

Сродственные политопы и соломинки

Пятикорон (5-ячейник) является самым простым из 9 однородных полихоров, построенных из группы Коксетера [3,3,3]. Он входит в последовательность {p,3,3} регулярных полихоров с тетраэдрической вершиной: тессеракт {4,3,3} и 120-ячейник {5,3,3} в евклидовом 4-мерном пространстве, и гексагональный сотовидный узор {6,3,3} в гиперболическом пространстве. Это один из трех регулярных 4-политопов {3,3,p} с тетраэдрическими ячейками, наряду с 16-ячейником {3,3,4} и 600-ячейником {3,3,5}. Тетраэдрический сотовидный узор 6-го порядка {3,3,6} в гиперболическом пространстве также имеет тетраэдрические ячейки. Он самодвойственен, как и 24-ячейник {3,4,3}, обладая палиндромным символом Шлефли {3,p,3}.