Четырёхмерный аналог октаэдра

Введение

Четырехмерный аналог октаэдра

В геометрии 16-ячейник — это правильный выпуклый 4-политоп (четырехмерный аналог платонова тела) с символом Шлефли {3,3,4}. Он является одним из шести правильных выпуклых 4-политопов, впервые описанных швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине XIX века. Его также называют C16, гексадекахорон или гексадекаэдроид.

Это четырехмерный член бесконечного семейства политопов, называемых кросс-политопами, ортоплексами или гипероктаэдрами, которые аналогичны октаэдру в трех измерениях. Это политоп Коксетера. Двойственный политоп — тессеракт (4-мерный куб), с которым 16-ячейник можно объединить для формирования составной фигуры. Ячейки 16-ячейника двойственны 16 вершинам тессеракта.

Геометрия

Клетка 16 является второй в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-мерных политопов (в порядке размера и сложности). Каждый из её 4 последующих выпуклых правильных 4-мерных политопов может быть построен как выпуклая оболочка политопического соединения из нескольких клеток 16: 16-вершинный тессеракт как соединение из двух клеток 16, 24-вершинная 24-ячейка как соединение из трех клеток 16, 120-вершинная 600-ячейка как соединение из пятнадцати клеток 16, и 600-вершинная 120-ячейка как соединение из семидесяти пяти клеток 16.

Координаты

Разъединенные квадратыплоскость xy (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0)плоскость wz (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0)16-ячейка является 4-мерным кросс-политопом (4-ортоплекс), что означает, что её вершины лежат в противоположных парах на 4 осях (w, x, y, z) декартовой системы координат. Восемь вершин – (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены ребрами, за исключением противоположных пар. Длина ребра равна… Координаты вершин образуют 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях. Квадраты в противоположных плоскостях, не имеющих общей оси (например, в плоскостях xy и wz), полностью разъединены (они не пересекаются ни в одной вершине). 16-ячейка образует ортонормальный базис для выбора 4-мерной системы отсчета, поскольку её вершины точно определяют четыре ортогональные оси.

Структура

Символ Шлефли 16-ячейки {3,3,4} указывает, что её ячейки являются правильными тетраэдрами {3,3}, а её вершинная фигура – правильный октаэдр {3,4}. В каждой вершине сходятся 8 тетраэдров, 12 треугольников и 6 рёбер. Её краевая фигура – квадрат. В каждой грани (на каждом ребре) сходятся 4 тетраэдра и 4 треугольника. 16-ячейка ограничена 16 ячейками, все из которых являются правильными тетраэдрами. Она имеет 32 треугольных грани, 24 ребра и 8 вершин. 24 ребра ограничивают 6 ортогональных центральных квадратов, лежащих на больших кругах в 6 координатных плоскостях (3 пары полностью ортогональных больших квадратов). В каждой вершине 3 больших квадрата пересекаются перпендикулярно. 6 рёбер сходятся в вершине так же, как 6 рёбер сходятся в вершине канонической октаэдрической пирамиды. 6 ортогональных центральных плоскостей 16-ячейки можно разделить на 4 ортогональных центральных гиперплоскости (3 пространства), каждая из которых образует октаэдр с 3 ортогональными большими квадратами.

Шпиональная конструкция

16-ячейка может быть построена (тремя различными способами) из двух спиралей Бёрджека-Коксетера, состоящих из восьми последовательно соединенных тетраэдров, каждый из которых изогнут в четвертом измерении в кольцо. Две циркулярные спирали обвиваются вокруг друг друга, вкладываются друг в друга и пересекают друг друга, образуя узел Хопфа. 16 треугольных граней можно увидеть в 2D-развёртке внутри треугольной мозаики, с 6 треугольниками вокруг каждой вершины. Фиолетовые ребра представляют собой полигон Петри 16-ячейки. Восьмиячеечное кольцо тетраэдров содержит три октаграммы разных цветов, восемь краевых циркулярных путей, которые дважды обходят 16-ячейку на каждой третьей вершине октаграммы. Оранжевые и жёлтые ребра – это две четырехреберные половины одной октаграммы, которые соединяют свои концы, образуя ленту Мёбиуса. Таким образом, 16-ячейка может быть разложена на две несвязанные циркулярные цепи из восьми тетраэдров каждая, длиной в четыре ребра, одна спирально закручивается вправо (по часовой стрелке), а другая – влево (против часовой стрелки). Лево- и правозакрученные ячеечные кольца соединяются друг с другом, вкладываются друг в друга и полностью заполняют 16-ячейку, хотя и обладают противоположной хиральностью. Это разложение можно увидеть в построении 4 4 дуаантипризмы 16-ячейки: или , символ Шлефли {2}⨂{2} или s{2}s{2}, симметрия [4,2+,4], порядок 64. Три восьмиреберных пути (разных цветов) спирально проходят вдоль каждого восьмиячеечного кольца, образуя углы в 90° в каждой вершине. (В спирали Бёрджека-Коксетера до того, как она изогнется в кольцо, углы в разных путях варьируются, но не равны 90°.) Через каждую вершину проходят три пути (с тремя разными цветами и кажущимися углами). Когда спираль изгибается в кольцо, сегменты каждого восьмиреберного пути (разной длины) соединяют свои концы, образуя ленту Мёбиуса длиной восемь ребер вдоль односторонней окружности длиной 4π и шириной в одно ребро. Шесть четырехреберных половин трех восьмиреберных путей образуют по четыре угла в 90°, но они не являются шестью ортогональными большими квадратами: это разомкнутые квадраты, четыререберные 360° спирали, чьи разомкнутые концы являются антиподальными вершинами. Четыре ребра происходят из четырех различных больших квадратов и взаимно ортогональны. Объединенные конец к концу парами с одинаковой хиральностью, шесть четырехреберных путей образуют три восьмиреберные петли Мёбиуса, спиральные октаграммы. Каждая октаграмма является как полигоном Петри 16-ячейки, так и спиральной траекторией, вдоль которой все восемь вершин вращаются вместе в одном из различных изоклинических вращений 16-ячейки. Пять способов рассмотрения одной и той же косой октаграммы: Краевой путь, Полигон Петри, 16-ячейка, Дискретная фибрация, Диаметральные хорды, Октаграмма{8/3}, Октаграмма{8/1}, Плоскость Коксетера B4, Октаграмма{8/2}=2{4}, Октаграмма{8/4}=4{2}. Восемь хорд краевого пути изоклины. Косой восьмиугольник с восемью ребрами. 16-ячейка имеет 3 таких 8-вершинных цикла. Все 24 ребра и четыре ортогональные оси. Два полностью ортогональных (непересекающихся) больших квадрата с ребрами. Четыре хорды изоклины. Каждая четвертая изоклиническая вершина соединена со своей антиподальной вершиной осью 16-ячейки. Каждая восьмиреберная спираль является косой октаграммой{8/3}, которая трижды обертывается вокруг 16-ячейки и посещает каждую вершину, прежде чем замкнуться в петлю. Ее восемь ребер – это хорды изоклины, спиральная дуга, на которой восемь вершин вращаются во время изоклинического вращения. Все восемь вершин 16-ячейки находятся на расстоянии друг от друга, за исключением противоположных (антиподальных) вершин, которые находятся на расстоянии друг от друга. Вершина, движущаяся по изоклине, посещает три другие вершины, которые находятся на расстоянии друг от друга, прежде чем достичь четвертой вершины, которая находится на расстоянии. Восьмиячеечное кольцо является хиральным: существует правозакрученная форма, которая спирально закручивается по часовой стрелке, и левозакрученная форма, которая спирально закручивается против часовой стрелки. 16-ячейка содержит по одной из каждой, поэтому она также содержит левый и правый изоклины; изоклина – это круговая ось, вокруг которой закручивается восьмиячеечное кольцо. Каждая изоклина посещает все восемь вершин 16-ячейки. Каждое восьмиячеечное кольцо содержит половину 16-ячеек, но все 8 вершин; два кольца разделяют вершины, поскольку они вкладываются друг в друга и соединяются друг с другом. Они также разделяют 24 ребра, хотя левая и правая октаграммные спирали имеют разные восьмиреберные пути. Поскольку есть три пары полностью ортогональных больших квадратов, существует три согласованных способа построения 16-ячейки из двух восьмиячеечных колец. 16-ячейка содержит три пары левых и правых восьмиячеечных колец в разных ориентациях, причем каждое кольцо содержит свою осевую изоклину. Каждая пара левых и правых изоклин является траекторией пары левых и правых различных изоклинических вращений: вращений в одной паре полностью ортогональных плоскостей вращения. В каждой вершине есть три больших квадрата и шесть изоклинических октаграмм, которые пересекаются в вершине и разделяют ось 16-ячейки.

A 16 cell can be constructed (three different ways) from two Boerdijk–Coxeter helixes of eight chained tetrahedra, each bent in the fourth dimension into a ring. The two circular helixes spiral around each other, nest into each other and pass through each other forming a Hopf link. The 16 triangle faces can be seen in a 2D net within a triangular tiling, with 6 triangles around every vertex. The purple edges represent the Petrie polygon of the 16 cell. The eight cell ring of tetrahedra contains three octagrams of different colors, eight edge circular paths that wind twice around the 16 cell on every third vertex of the octagram. The orange and yellow edges are two four edge halves of one octagram, which join their ends to form a Möbius strip. Thus the 16 cell can be decomposed into two cell disjoint circular chains of eight tetrahedrons each, four edges long, one spiraling to the right (clockwise) and the other spiraling to the left (counterclockwise). The left handed and right handed cell rings fit together, nesting into each other and entirely filling the 16 cell, even though they are of opposite chirality. This decomposition can be seen in a 4 4 duoantiprism construction of the 16 cell: or , Schläfli symbol {2}⨂{2} or s{2}s{2}, symmetry [4,2+,4], order 64. Three eight edge paths (of different colors) spiral along each eight cell ring, making 90° angles at each vertex. (In the Boerdijk–Coxeter helix before it is bent into a ring, the angles in different paths vary, but are not 90°.) Three paths (with three different colors and apparent angles) pass through each vertex. When the helix is bent into a ring, the segments of each eight edge path (of various lengths) join their ends, forming a Möbius strip eight edges long along its single sided circumference of 4𝝅, and one edge wide. The six four edge halves of the three eight edge paths each make four 90° angles, but they are not the six orthogonal great squares: they are open ended squares, four edge 360° helices whose open ends are antipodal vertices. The four edges come from four different great squares, and are mutually orthogonal. Combined end to end in pairs of the same chirality, the six four edge paths make three eight edge Möbius loops, helical octagrams. Each octagram is both a Petrie polygon of the 16 cell, and the helical track along which all eight vertices rotate together, in one of the 16 cell's distinct isoclinic rotations. Five ways of looking at the same skew octagramEdge pathPetrie polygon16 cellDiscrete fibrationDiameter chordsOctagram{8/3}Octagram{8/1}Coxeter plane B4Octagram{8/2}=2{4}Octagram{8/4}=4{2}The eight chords of the edge path of an isocline. Skew octagon of eight edges. The 16 cell has 3 of these 8 vertex circuits. All 24 edges and the four orthogonal axes. Two completely orthogonal (disjoint) great squares of edges. The four chords of an isocline. Every fourth isocline vertex is joined to its antipodal vertex by a 16 cell axis. Each eight edge helix is a skew octagram{8/3} that winds three times around the 16 cell and visits every vertex before closing into a loop. Its eight edges are chords of an isocline, a helical arc on which the 8 vertices circle during an isoclinic rotation. All eight 16 cell vertices are apart except for opposite (antipodal) vertices, which are apart. A vertex moving on the isocline visits three other vertices that are apart before reaching the fourth vertex that is away. The eight cell ring is chiral: there is a right handed form which spirals clockwise, and a left handed form which spirals counterclockwise. The 16 cell contains one of each, so it also contains a left and a right isocline; the isocline is the circular axis around which the eight cell ring twists. Each isocline visits all eight vertices of the 16 cell. Each eight cell ring contains half of the 16 cells, but all 8 vertices; the two rings share the vertices, as they nest into each other and fit together. They also share the 24 edges, though left and right octagram helices are different eight edge paths. Because there are three pairs of completely orthogonal great squares, there are three congruent ways to compose a 16 cell from two eight cell rings. The 16 cell contains three left right pairs of eight cell rings in different orientations, with each cell ring containing its axial isocline. Each left right pair of isoclines is the track of a left right pair of distinct isoclinic rotations: the rotations in one pair of completely orthogonal invariant planes of rotation. At each vertex, there are three great squares and six octagram isoclines that cross at the vertex and share a 16 cell axis chord.

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет 16-ячейку. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Числа на диагонали показывают, сколько элементов каждого типа содержится во всей 16-ячейке. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в или на элементе строки.

Тесселяции

Четырёхмерное евклидово пространство можно замостить правильными 16-ячейками. Это называется 16-ячеечным сотом и имеет символ Шлефли {3,3,4,3}. Следовательно, двугранный угол 16-ячейки равен 120°. Каждая 16-ячейка имеет 16 соседей, с которыми она имеет общий тетраэдр, 24 соседа, с которыми она имеет общий только отрезок, и 72 соседа, с которыми она имеет общую только одну точку. В каждой вершине этой замостки сходятся двадцать четыре 16-ячейки. Двойственная замостка, 24-ячеечный сот, {3,4,3,3}, состоит из правильных 24-ячеек. Вместе с тессерактическим сотом {4,3,3,4} это единственные три правильные замостки R⁴.

Прогнозы

Первая параллельная проекция ячейки 16-ячейника в трехмерное пространство имеет кубическую оболочку. Ближайшие и самые дальние ячейки проецируются на вписанные тетраэдры внутри куба, что соответствует двум возможным способам вписать правильный тетраэдр в куб. Вокруг каждого из этих тетраэдров расположены 4 других (неправильных) тетраэдрических объема, являющихся образами 4 окружающих тетраэдрических ячеек и заполняющих пространство между вписанным тетраэдром и кубом. Оставшиеся 6 ячеек проецируются на квадратные грани куба. В этой проекции 16-ячейника все его ребра лежат на гранях кубической оболочки. Первая перспективная проекция 16-ячейника в трехмерное пространство имеет триакистетраэдрическую оболочку. Расположение ячеек внутри этой оболочки аналогично расположению ячеек в первой параллельной проекции. Первая параллельная проекция по вершине 16-ячейника в трехмерное пространство имеет октаэдрическую оболочку. Этот октаэдр можно разделить на 8 тетраэдрических объемов, разрезав его по координатным плоскостям. Каждый из этих объемов является образом пары ячеек в 16-ячейнике. Ближайшая к наблюдателю вершина 16-ячейника проецируется в центр октаэдра. Наконец, первая параллельная проекция по ребру имеет укороченную октаэдрическую оболочку, а первая параллельная проекция по грани – шестиугольную бипирамиду.

4 сферы

Трехмерная проекция 16-ячейника и 4 пересекающихся сфер (диаграмма Венна из 4 множеств) топологически эквивалентны.

Связанные сложные многоугольники

Многоугольник Мёбиуса-Кантора — это правильный комплексный многоугольник 3{3}3, имеющий те же вершины, что и 16-я ячейка. У него 8 вершин и 8 рёбер. Правильный комплексный многоугольник 2{4}4 имеет реальное представление в виде 16-ячейки в 4-мерном пространстве с 8 вершинами, 16 рёбер, что составляет лишь половину рёбер 16-ячейки. Его симметрия — 4[4]2, порядок 32. + Ортографические проекции многоугольника 2{4}4. В плоскости B4 Коксетера многоугольник 2{4}4 имеет 8 вершин и 16 рёбер, показанных здесь четырьмя наборами цветов. 8 вершин сгруппированы в два набора (показаны красным и синим), каждый из которых соединён рёбрами только с вершинами другого набора, что делает этот многоугольник полным двудольным графом K4,4.

Связанные однородные политопы и соломинки

Регулярные 16-ячейник и тессеракт являются регулярными элементами множества из 15 однородных 4-политопов с одинаковой симметрией B4. 16-ячейник также является одним из однородных политопов с симметрией D4. 16-ячейник также связан с кубическим сотом, додекаэдрическим сотом 4-го порядка и гексагональным сотом, все из которых имеют октаэдрические вершинные фигуры. Он принадлежит к последовательности 4-политопов {3,3,p} с тетраэдрическими ячейками. Эта последовательность включает три регулярных 4-политопа в евклидовом 4-мерном пространстве: 5-ячейник {3,3,3}, 16-ячейник {3,3,4} и 600-ячейник {3,3,5}, а также тетраэдрический сотовый улей порядка 6 {3,3,6} в гиперболическом пространстве. Он является первым в последовательности квазирегулярных политопов и сотовых ульев h{4,p,q}, а также в полусимметричной последовательности для регулярных форм {p,3,4}.