Введение

Обозначение, определяющее правильные политопы и тесселяции. В геометрии символ Шлефли — это обозначение вида {p, q, ...}, определяющее правильные политопы и тесселяции. Символ Шлефли назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли XIX века, который обобщил геометрию Евклида на более чем три измерения и открыл все их выпуклые правильные политопы, включая шесть, существующие в четырёх измерениях.

Определение

Символ Шлефли — это рекурсивное описание, начинающееся с {p} для правильного p-угольника, который является выпуклым. Например, {3} — равносторонний треугольник, {4} — квадрат, {5} — выпуклый правильный пятиугольник и так далее. Правильные звездные многоугольники невыпуклы, и их символы Шлефли {p/q} содержат несократимые дроби p/q, где p — число вершин, а q — число поворотов. Эквивалентно, {p/q} создается из вершин {p}, соединенных через каждые q вершин. Например, это пентаграмма; это правильный пятиугольник. Правильный многогранник, имеющий q правильных p-угольников вокруг каждой вершины, обозначается {p,q}. Например, куб имеет 3 квадрата вокруг каждой вершины и обозначается {4,3}. Правильный 4-мерный политоп, имеющий r регулярных полиэдрических ячеек {p,q} вокруг каждого ребра, обозначается {p,q,r}. Например, тессеракт {4,3,3} имеет 3 куба {4,3} вокруг ребра. В общем случае, регулярный политоп {p,q,r,y,z} имеет z граней {p,q,r,y} вокруг каждой вершины, где вершина — это вершина в полиэдре, ребро в 4-мерном политопе, грань в 5-мерном политопе и (n-3)-мерная грань в n-мерном политопе.

Свойства

Регулярный политоп имеет регулярную фигуру вершины. Фигура вершины регулярного политопа {p,q,r,y,z} – {q,r,y,z}. В регулярных политопах могут присутствовать элементы в виде звездных многоугольников, такие как пентаграмма, с символом , представленным вершинами пятиугольника, соединенными поочередно. Символ Шлефли может представлять конечный выпуклый многогранник, бесконечную тесселяцию евклидова пространства или бесконечную тесселяцию гиперболического пространства, в зависимости от дефекта угла при построении. Положительный дефект угла позволяет фигуре вершины замкнуться в более высокое измерение и вернуться к себе, формируя политоп. Нулевой дефект угла создает тесселяцию пространства той же размерности, что и грани. Отрицательный дефект угла не может существовать в обычном пространстве, но может быть реализован в гиперболическом пространстве. Обычно грань или фигура вершины рассматриваются как конечные политопы, но иногда сами могут представлять собой тесселяцию. Регулярный политоп также имеет двойственный политоп, представленный элементами символа Шлефли в обратном порядке. Самодвойственный регулярный политоп имеет симметричный символ Шлефли. Помимо описания евклидовых политопов, символы Шлефли могут использоваться для описания сферических политопов или сферических сот.

История и вариации

Работа Шлефли оставалась почти неизвестной при его жизни, и его обозначение для описания политопов было независимо переоткрыто несколькими другими исследователями. В частности, Торольд Госсе переоткрыл символ Шлефли, записывая его как |p|q|r| |z|, а не скобками и запятыми, как это делал Шлефли. Форма Госсета обладает большей симметрией: число измерений соответствует числу вертикальных черт, а символ точно включает в себя подсимволы для грани и вершинной фигуры. Госсе рассматривал |p как оператор, который можно применить к |q| |z| для получения политопа с p-угольными гранями, чья вершинная фигура – |q| |z|.

Группы симметрии

Символы Шлефли тесно связаны с (конечными) группами симметрии отражений, которые точно соответствуют конечным группам Коксетера и задаются теми же индексами, но в квадратных скобках [p,q,r, ]. Такие группы часто называют по регулярным многогранникам, которые они порождают. Например, [3,3] — группа Коксетера для симметрии отражений тетраэдра, [3,4] — симметрии отражений октаэдра, а [3,5] — симметрии отражений икосаэдра.

Регулярные многоугольники (плоскость)

Символ Шлефли выпуклого правильного многоугольника с p сторонами — {p}. Например, правильный пятиугольник обозначается {5}. Для невыпуклых звездных многоугольников используется конструктивное обозначение, где p — количество вершин, а q–1 — количество вершин, пропущенных при построении каждого ребра звезды. Например, обозначает пентаграмму.

Регулярные многогранники (3 измерения)

Символ Шлефли для правильного многогранника имеет вид {p,q}, где его грани — это p-угольники, и каждая вершина окружена q гранями (вершинная фигура — это q-угольник). Например, {5,3} — это правильный додекаэдр. У него пятиугольные (5-сторонние) грани и 3 пятиугольника вокруг каждой вершины. См. 5 выпуклых платонических тел, 4 невыпуклых полиэдров Кеплера-Пуансо. Топологически, регулярная 2-мерная мозаика может рассматриваться как аналогичная (3-мерному) многограннику, но с нулевым угловым дефектом. Таким образом, символы Шлефли могут также быть определены для регулярных мозаик евклидова или гиперболического пространства аналогичным образом, как и для многогранников. Эта аналогия справедлива и для более высоких размерностей. Например, гексагональная мозаика представлена символом {6,3}.

Регулярные 4-политопы (4 измерения)

Символ Шлефли регулярного 4-мерного политопа имеет вид {p,q,r}. Его (двумерные) грани – правильные p-угольники ({p}), ячейки – правильные многогранники типа {p,q}, вершинные фигуры – правильные многогранники типа {q,r}, а краевые фигуры – правильные r-угольники (тип {r}). См. шесть выпуклых правильных и 10 правильных звездных 4-мерных политопов. Например, политоп с 120 ячейками представлен символом {5,3,3}. Он состоит из додекаэдрических ячеек {5,3} и имеет 3 ячейки вокруг каждого ребра. Существует одна правильная замощение евклидова пространства размерности 3: кубическая сота, с символом Шлефли {4,3,4}, состоящая из кубических ячеек и 4 кубов вокруг каждого ребра. Существует также 4 правильных компактных гиперболических замощения, включая {5,3,4}, гиперболическую малую додекаэдрическую соту, которая заполняет пространство додекаэдрическими ячейками. Если символ 4-мерного политопа является палиндромом (например, {3,3,3} или {3,4,3}), его битрункация будет состоять только из усеченных форм вершинной фигуры в качестве ячеек.

Регулярные n-политопы (более высокие размеры)

Для регулярных политопов более высоких измерений символ Шлефли определяется рекурсивно: если грани имеют символ Шлефли, а вершинные фигуры – символ Шлефли. Вершинная фигура грани политопа и грань вершинной фигуры того же политопа совпадают: В 5 измерениях и выше существует только 3 регулярных политопа: симплекс, {3, 3, 3, 3, 3}; крестовый политоп, {3, 3, 3, 3, 4}; и гиперкуб, {4, 3, 3, 3, 3}. Невыпуклых регулярных политопов в более чем 4 измерениях не существует.

Двойные политопы

Если политоп размерности n≥2 имеет символ Шлефли {p1, p2, …, pn−1}, то его дуальный политоп имеет символ Шлефли {pn−1, …, p2, p1}. Если последовательность является палиндромом, то есть читается одинаково слева направо и справа налево, политоп самодуален. Каждый правильный политоп в двух измерениях (многоугольник) является самодуальным.