Введение

В геометрии обобщённый четырехугольник — это инцидентная структура, основной особенностью которой является отсутствие треугольников (при этом содержащая множество четырехугольников). Обобщённый четырехугольник по определению является полярным пространством ранга два. Это обобщённые n-гоны с n = 4 и почти 2n-гоны с n = 2. Они также точно соответствуют частичным геометриям pg(s,t,α) с α = 1.

Определение

Обобщенный четырехугольник представляет собой инцидентную структуру (P, B, I), где I ⊆ P × B является отношением инцидентности, удовлетворяющим определенным аксиомам. Элементы P по определению являются точками обобщенного четырехугольника, а элементы B – прямыми. Аксиомы следующие:
Существует s (s ≥ 1) такое, что на каждой прямой содержится ровно s + 1 точка. На двух различных прямых содержится не более одной общей точки. Существует t (t ≥ 1) такое, что через каждую точку проходят ровно t + 1 прямых. Через две различные точки проходит не более одной прямой. Для каждой точки p, не лежащей на прямой L, существует единственная прямая M и единственная точка q, такие что p лежит на M, а q лежит на M и L.

(s, t) являются параметрами обобщенного четырехугольника. Параметры могут быть бесконечными. Если s или t равно 1, обобщенный четырехугольник называется тривиальным. Например, сетка 3x3 с P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} является тривиальным GQ с s = 2 и t = 1. Обобщенный четырехугольник с параметрами (s, t) часто обозначается GQ(s, t). Наименьший нетривиальный обобщенный четырехугольник – GQ(2, 2), представление которого Стен Пейн в 1973 году назвал «кружевом».

Графики

Есть два интересных графа, которые можно получить из обобщенного четырехугольника. Граф коллинейности, вершины которого – точки обобщенного четырехугольника, а ребра соединяют коллинеарные точки. Этот граф является сильно регулярным графом с параметрами ((s+1)(st+1), s(t+1), s, t+1), где (s,t) – порядок обобщенного четырехугольника. Граф инцидентности, вершины которого – точки и прямые обобщенного четырехугольника, и две вершины смежны, если одна – точка, а другая – прямая, и точка лежит на этой прямой. Граф инцидентности обобщенного четырехугольника характеризуется тем, что он связный, двудольный граф с диаметром четыре и длиной окружности восемь. Следовательно, это пример клетки. Графы инцидентности конфигураций сегодня обычно называют графами Леви, но исходный граф Леви был графом инцидентности GQ(2,2).

Двойственность

Если (P,B,I) является обобщённым четырёхугольником с параметрами (s,t), то (B,P,I⁻¹), где I⁻¹ – обратное соотношение инцидентности, также является обобщённым четырёхугольником. Это двойной обобщённый четырёхугольник. Его параметры – (t,s). Даже если s = t, двойная структура не обязательно изоморфна исходной структуре.

Обобщенные четырехугольники с линиями размера 3

Существует ровно пять (возможно, вырожденных) обобщенных четырехугольников, в каждом из которых каждая прямая содержит три точки, четырехугольник с пустым множеством прямых, четырехугольник, в котором все прямые проходят через фиксированную точку, соответствующий графу ветряной мельницы Wd(3,n), решетка размера 3x3, четырехугольник GQ(2,2) и единственный GQ(2,4). Эти пять четырехугольников соответствуют пяти корневым системам в классах ADE: An, Dn, E6, E7 и E8, то есть корневым системам с простой шнуровкой.

Неклассические примеры

Пусть O — гипеовал в PG(2, q), где q — степень простого числа (четная), и вложим эту проективную (дезаргезианскую) плоскость в PG(2, q). Теперь рассмотрим инцидентность-структуру, где точками являются все точки, не лежащие в O, а линиями — все линии, не проходящие через O и пересекающиеся с O в одной точке. Инцидентность задается естественным образом. Это обобщенный четырехугольник (q-1, q+1). Пусть q — степень простого числа (нечетная или четная) и рассмотрим симплектическую полярность в PG(2, q). Выберем произвольную точку p и определим полярность относительно p. Пусть линиями нашей инцидентность-структуры будут все абсолютные прямые, не проходящие через O, вместе со всеми прямыми, проходящими через p и не проходящими через O, а точками — все точки PG(2, q), кроме точек из O. Инцидентность снова задается естественным образом. Мы снова получаем обобщенный четырехугольник (q-1, q+1).