Введение

Понятие в математической теории категорий

В математике полная подкатегория A категории B называется рефлексивной в B, если функтор включения из A в B имеет левое сопряженное отображение. Это сопряженное отображение иногда называют отражателем или локализацией. Двойственно, A называется корефлексивной в B, если функтор включения имеет правое сопряженное отображение. Неформально, отражатель действует как своего рода операция дополнения. Он добавляет любые "недостающие" элементы структуры таким образом, что повторное отражение не оказывает дальнейшего влияния.

Алгебра

Категория абелевых групп Ab является отраженной подкатегорией категории групп Grp. Рефлектор — это функтор, который отображает каждую группу в её абелеву оболочку. В свою очередь, категория групп является отраженной подкатегорией категории обратных полугрупп. Аналогично, категория коммутативных ассоциативных алгебр является отраженной подкатегорией всех ассоциативных алгебр, где рефлектор — это фактор-алгебра по идеалу коммутаторов. Это используется при построении симметричной алгебры из тензорной алгебры. Двойственно, категория антикоммутативных ассоциативных алгебр является отраженной подкатегорией всех ассоциативных алгебр, где рефлектор — это фактор-алгебра по идеалу антикоммутаторов. Это используется при построении внешней алгебры из тензорной алгебры. Категория полей является отраженной подкатегорией категории целостных областей (с инъективными гомоморфизмами колец в качестве морфизмов). Рефлектор — это функтор, который отображает каждую целостную область в её поле частных. Категория абелевых групп кручения является корефлексивной подкатегорией категории абелевых групп. Корефлектор — это функтор, отображающий каждую группу в её подгруппу кручения. Категории элементарных абелевых групп, абелевых p-групп и p-групп являются отраженными подкатегориями категории групп, а ядра отражающих отображений являются важными объектами исследования; см. теорему о фокусных подгруппах. Категория групп является корефлексивной подкатегорией категории моноидов: правое сопряжение отображает моноид в его группу обратимых элементов.

Топология

Категория пространств Колмогорова (пространства T₀) является отражающей подкатегорией Top, категории топологических пространств, а колмогоровский фактор – отражателем. Категория полностью регулярных пространств CReg является отражающей подкатегорией Top. Рассматривая колмогоровские факторы, можно увидеть, что подкатегория пространств Тихонова также является отражающей. Категория всех компактных пространств Хаусдорфа является отражающей подкатегорией категории всех пространств Тихонова (и категории всех топологических пространств). Отражателем является компактификация Стоуна — Чеха. Категория всех полных метрических пространств с равномерно непрерывными отображениями является отражающей подкатегорией категории метрических пространств. Отражатель задается завершением метрического пространства по объектам и расширением по плотности по морфизмам. Категория пучков является отражающей подкатегорией предпучков на топологическом пространстве. Отражателем является пучкование, которое сопоставляет предпучку пучок сечений пучка ее зародышей. Категория Seq последовательных пространств является кофлективной подкатегорией Top. Последовательная кофлексия топологического пространства – это пространство , где топология является более тонкой, чем , и состоит из всех последовательно открытых множеств в (то есть, дополнений последовательно замкнутых множеств).

Функциональный анализ

Категория пространств Банаха является рефлексивной подкатегорией категории нормированных пространств и ограниченных линейных операторов. Рефлектор — это функтор завершения по норме.

Теория категорий

Для любого гротендиковского сайта (C, J) топос пучков на (C, J) является рефлексивной подкатегорией топоса предпучков на C, обладающей дополнительным свойством, заключающимся в том, что рефлектор является левоточной функцией. Рефлектором является функтор сшивки a : Presh(C) → Sh(C, J), а сопряженная пара (a, i) является важным примером геометрического морфизма в теории топосов.

Свойства

Компоненты коединицы являются изоморфизмами. Если D – отражающая подкатегория C, то функтор включения D → C создает все пределы, существующие в C.
Отражающая подкатегория имеет все копределы, существующие в окружающей категории. Монада, индуцированная adjunction рефлектора/локализации, является идемпотентной.