Введение

В математике матричная группа — это группа G, состоящая из обратимых матриц над заданным полем K, с операцией матричного умножения. Линейная группа — это группа, изоморфная матричной группе (то есть допускающая верное, конечномерное представление над K). Любая конечная группа является линейной, поскольку её можно представить в виде матриц перестановок, используя теорему Кейли. Среди бесконечных групп линейные группы образуют интересный и удобный для изучения класс. Примеры групп, которые не являются линейными, включают группы, которые "слишком велики" (например, группа перестановок бесконечного множества), или демонстрирующие патологическое поведение (например, конечно порожденные бесконечные группы кручения).

Классические группы и связанные с ними примеры

Так называемые классические группы обобщают примеры 1 и 2, приведенные выше. Они возникают как линейные алгебраические группы, то есть как подгруппы GLn, заданные конечным числом уравнений. Основными примерами являются ортогональные, унитарные и симплектические группы, однако можно построить и другие, используя алгебры с делением (например, группа единиц кватернионной алгебры является классической группой). Следует отметить, что проективные группы, связанные с этими группами, также являются линейными, хотя это и не всегда очевидно. Например, группа PSL2(R) не является группой 2 × 2 матриц, но имеет верное представление в виде 3 × 3 матриц (сопряженное представление), которое можно использовать в общем случае. Многие группы Ли являются линейными, но не все. Универсальное накрытие SL2(R) не является линейной, как и многие разрешимые группы, например, фактор-группа группы Гейзенберга по центральной циклической подгруппе. Дискретные подгруппы классических групп Ли (например, решетки или тонкие группы) также представляют собой примеры интересных линейных групп.

Конечные группы

Конечная группа G порядка n является линейной степени не выше n над любым полем K. Это утверждение иногда называют теоремой Кейли и является прямым следствием того, что действие G на кольцо группы K[G] посредством левого (или правого) умножения является линейным и верным. Конечные группы типа Ли (классические группы над конечными полями) представляют собой важное семейство конечных простых групп, поскольку они составляют основную часть в классификации конечных простых групп.

Определенно сгенерированные матричные группы

В то время как пример 4 выше слишком общий для определения отличительного класса (он включает в себя все линейные группы), ограничение до конечного множества индексов I, то есть рассмотрение конечно порожденных групп, позволяет построить множество интересных примеров. Например: лемма пинг-понга может быть использована для построения многих примеров линейных групп, являющихся свободными группами (например, группа, порожденная , является свободной). Известно, что арифметические группы конечно порождены. С другой стороны, найти явный набор порождающих для заданной арифметической группы – сложная задача. Группы кос (которые определяются как конечно представленные группы) имеют верное линейное представление на конечномерном комплексном векторном пространстве, где порождающие действуют посредством явных матриц.

Примеры из геометрии

В некоторых случаях фундаментальную группу многообразия можно показать линейной, используя представления, возникающие из геометрической структуры. Например, все замкнутые поверхности рода не менее 2 являются гиперболическими поверхностями Римана. Благодаря теореме об униформизации это приводит к представлению фундаментальной группы в группе изометрий гиперболической плоскости, которая изоморфна PSL2(R), и тем самым реализует фундаментальную группу как группу Фукса. Обобщением этой конструкции является понятие (G,X)-структуры на многообразии. Другой пример – фундаментальная группа многообразий Зейферта. С другой стороны, неизвестно, являются ли линейными все фундаментальные группы 3-многообразий.

Примеры нелинейных групп

Не трудно привести бесконечно порожденные примеры нелинейных групп: например, бесконечная абелева группа (Z/2Z)N x (Z/3Z)N не может быть линейной. Поскольку симметрическая группа на бесконечном множестве содержит эту группу, она также не является линейной. Поиск конечно порожденных примеров более сложен и обычно требует использования одного из свойств, перечисленных выше. Поскольку любая конечно линейная группа остаточно конечна, она не может быть одновременно простой и бесконечной. Таким образом, конечно порожденные бесконечные простые группы, например группа Томпсона F и факторгруппа группы Хигмана по максимальной собственной нормальной подгруппе, не являются линейными. По следствию из вышеупомянутой альтернативы Титса, группы промежуточного роста, такие как группа Григорчука, не являются линейными. Снова, согласно альтернативе Титса, как упоминалось выше, все контрпримеры к гипотезе фон Неймана не являются линейными. Это включает в себя группу Томпсона F и группы монстров Тарски. По теореме Бернсайда, бесконечные, конечно порожденные группы кручения, такие как группы монстров Тарски, не могут быть линейными. Существуют примеры гиперболических групп, которые не являются линейными, полученные как факторгруппы решеток в группах Ли Sp(n, 1). Известно, что внешняя группа автоморфизмов Out(Fn) свободной группы не является линейной при n, по крайней мере, равном 4. В отличие от случая с группами кос, остается открытым вопрос о том, является ли группа класса отображений поверхности рода > 1 линейной.