Введение

Тип разрешимой группы в математике
В математике полициклическая группа — это разрешимая группа, удовлетворяющая максимальному условию на подгруппы (то есть любая подгруппа конечно порождена). Полициклические группы конечно представимы, что делает их интересными с точки зрения вычислений.

Примеры

Примеры полициклических групп включают конечно порожденные абелевы группы, конечно порожденные нильпотентные группы и конечные разрешимые группы. Анатолий Мальцев доказал, что разрешимые подгруппы общей линейной группы над целыми числами являются полициклическими; а позже Луи Ауслендер (1967) и Свон доказали обратное утверждение, что любая полициклическая группа, с точностью до изоморфизма, является группой матриц над целыми числами. Голоморф полициклической группы также является такой группой матриц над целыми числами.

Сильно полициклические группы

Полициклическая группа G называется сильно полициклической, если каждый фактор-группа Gi+1 / Gi бесконечен. Любая подгруппа сильно полициклической группы является сильно полициклической.

Полициклические группы с конечным числом

Виртуальная полициклическая группа — это группа, имеющая полициклическую подгруппу конечного индекса, что является примером виртуального свойства. Такая группа обязательно имеет нормальную полициклическую подгруппу конечного индекса, поэтому такие группы также называют полициклическими по конечным группам. Хотя полициклические по конечным группам не обязательно разрешимы, они всё же обладают многими свойствами конечности полициклических групп; например, они удовлетворяют максимальному условию, конечно представимы и остаточно конечны. В учебниках и некоторых статьях группа M относится к тому, что сейчас называется полициклической по конечной группой, которую, согласно теореме Хирша, также можно представить как группу, имеющую субнормальный ряд конечной длины, каждый фактор которого является конечной группой или бесконечной циклической группой. Эти группы особенно интересны, поскольку они являются единственными известными примерами ноэтерианских групповых колец или групповых колец конечной инъективной размерности.

Длина Хирша

Длина Хирша или число Хирша полициклической группы G — это количество бесконечных факторов в её субнормальном ряду. Если G является полициклической по конечной группе, то длина Хирша группы G равна длине Хирша полициклической нормальной подгруппы H группы G, где H имеет конечный индекс в G. Это не зависит от выбора подгруппы, так как все такие подгруппы имеют одинаковую длину Хирша.