Дуальность Крамерса — Ваннье в статистической физике
Kramers–Wannier duality
Двойственность Крамерса-Ваннье: симметрия в статистической физике, связывающая энергию Изинговской модели при разных температурах. Точное определение критической точки.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Двойственность Крамерса — Ваннье — это симметрия в статистической физике. Она связывает свободную энергию двумерной квадратной решетки модели Изинга при низкой температуре со свободной энергией другой модели Изинга при высокой температуре. Она была открыта Хендриком Крамерсом и Грегори Ваннье в 1941 году. Используя эту двойственность, Крамерс и Ваннье точно определили положение критической точки для модели Изинга на квадратной решетке. Аналогичные двойственности устанавливают соотношения между свободными энергиями других статистических моделей. Например, в трех измерениях модель Изинга двойственна модели калибровочного поля Изинга.
The Kramers–Wannier duality is a symmetry in statistical physics. It relates the free energy of a two dimensional square lattice Ising model at a low temperature to that of another Ising model at a high temperature. It was discovered by Hendrik Kramers and Gregory Wannier in 1941. With the aid of this duality Kramers and Wannier found the exact location of the critical point for the Ising model on the square lattice. Similar dualities establish relations between free energies of other statistical models. For instance, in 3 dimensions the Ising model is dual to an Ising gauge model.
Интуитивная идея
Двумерная модель Изинга существует на решетке, представляющей собой набор квадратов, расположенных как на шахматной доске. Конечную решетку можно свернуть, соединив края, чтобы образовать тор. В теориях подобного рода строят инволютивное преобразование. Например, Ларс Онсагер предположил, что преобразование «Звездный треугольник» можно использовать для треугольной решетки. Двойственная решетка дискретного тора является самой собой. Более того, двойственная система к сильно неупорядоченной (высокотемпературной) системе является хорошо упорядоченной (низкотемпературной) системой. Это происходит потому, что преобразование Фурье переводит сигнал с большой полосой пропускания (большим стандартным отклонением) в сигнал с малой полосой пропускания (малым стандартным отклонением). Таким образом, по сути, мы имеем ту же теорию с обратной температурой. Когда в одной теории повышается температура, в другой понижается. Если существует только один фазовый переход, он происходит в точке их пересечения, где температуры равны. Поскольку двумерная модель Изинга переходит из неупорядоченного состояния в упорядоченное, между неупорядоченной и упорядоченной фазами существует почти однозначное соответствие. Теория была обобщена и теперь сочетается со многими другими идеями. Например, квадратная решетка заменяется кругом, случайной решеткой, неоднородным тором, треугольной решеткой, лабиринтом, решетками с искривленными границами, хиральной моделью Поттса и многими другими. Одним из следствий дуальности Крамерса — Ваннье является точное соответствие спектров возбуждений по обе стороны от критической точки. Это было недавно продемонстрировано с помощью ТГц-спектроскопии в одномерных спиновых цепях.
The 2 dimensional Ising model exists on a lattice, which is a collection of squares in a chessboard pattern. With the finite lattice, the edges can be connected to form a torus. In theories of this kind, one constructs an involutive transform. For instance, Lars Onsager suggested that the Star Triangle transformation could be used for the triangular lattice. Now the dual of the discrete torus is itself. Moreover, the dual of a highly disordered system (high temperature) is a well ordered system (low temperature). This is because the Fourier transform takes a high bandwidth signal (more standard deviation) to a low one (less standard deviation). So one has essentially the same theory with an inverse temperature. When one raises the temperature in one theory, one lowers the temperature in the other. If there is only one phase transition, it will be at the point at which they cross, at which the temperature is equal. Because the 2D Ising model goes from a disordered state to an ordered state, there is a near one to one mapping between the disordered and ordered phases. The theory has been generalized, and is now blended with many other ideas. For instance, the square lattice is replaced by a circle, random lattice, nonhomogeneous torus, triangular lattice, labyrinth, lattices with twisted boundaries, chiral Potts model, and many others. One of the consequences of Kramers–Wannier duality is an exact correspondence in the spectrum of excitations on each side of the critical point. This was recently demonstrated via THz spectroscopy in 1D spin chains.