Введение
Итеративный метод, используемый для решения системы линейных уравнений. В численной линейной алгебре метод Гаусса — Зейделя, также известный как метод Либмана или метод последовательных приближений, является итеративным методом, применяемым для решения системы линейных уравнений. Он назван в честь немецких математиков Карла Фридриха Гаусса и Филиппа Людвига фон Зейделя и аналогичен методу Якоби. Хотя его можно применять к любой матрице с ненулевыми элементами на диагонали, сходимость гарантирована только в том случае, если матрица является строго диагонально доминирующей, либо симметричной и положительно определенной. Упоминание о нем впервые появилось в частном письме Гаусса своему ученику Герлингу в 1823 году, а публикация была осуществлена Зейделем только в 1874 году.
In numerical linear algebra, the Gauss–Seidel method, also known as the Liebmann method or the method of successive displacement, is an iterative method used to solve a system of linear equations. It is named after the German mathematicians Carl Friedrich Gauss and Philipp Ludwig von Seidel, and is similar to the Jacobi method. Though it can be applied to any matrix with non zero elements on the diagonals, convergence is only guaranteed if the matrix is either strictly diagonally dominant, or symmetric and positive definite. It was only mentioned in a private letter from Gauss to his student Gerling in 1823. A publication was not delivered before 1874 by Seidel.
Обсуждение
Формула для метода Гаусса-Зейделя с покомпонентным вычислением аналогична формуле для метода Якоби. Вычисление использует элементы , которые уже были вычислены, и только элементы , которые еще не были вычислены на (k+1)-й итерации. Это означает, что, в отличие от метода Якоби, требуется только один вектор памяти, поскольку элементы могут перезаписываться по мере вычисления, что может быть полезно для очень больших задач. Однако, в отличие от метода Якоби, вычисления для каждого элемента, как правило, гораздо сложнее реализовать параллельно, поскольку они могут иметь очень длинную критическую цепочку и, следовательно, наиболее эффективны для разреженных матриц. Кроме того, значения на каждой итерации зависят от порядка исходных уравнений. Метод Гаусса-Зейделя эквивалентен методу последовательной верхней релаксации с α = 1.