Введение

Узел, ограничивающий встроенный диск в 4-мерном пространстве.

Узел-срез – это математический узел в 3-мерном пространстве, который ограничивает встроенный диск в 4-мерном пространстве.

Определение

Узел называется топологически разрезаемым или гладко разрезаемым, если он является границей погруженного диска в 4-мерном шаре, который локально плоский или гладкий, соответственно. Здесь мы используем следующее: 3-сфера является границей 4-мерного шара. Каждый гладко разрезаемый узел является топологически разрезаемым, поскольку гладко погруженный диск локально плоский. Обычно гладко разрезаемые узлы также называют просто разрезаемыми. Оба типа разрезаемых узлов важны в 3- и 4-мерной топологии. Гладко разрезаемые узлы часто иллюстрируют диаграммами узлов-лент, и остается открытым вопрос, существуют ли гладко разрезаемые узлы, которые не являются узлами-лентами (так называемая "гипотеза о разрезаемости лентами").

Конструкция конуса

Условия локальной плоскостности или гладкости существенны в определении: для каждого узла мы можем построить конус над этим узлом, который представляет собой диск в 4-мерном шаре с требуемым свойством, за исключением того, что он не является локально плоским или гладким в сингулярности (однако это верно для тривиального узла). Обратите внимание, что диск на иллюстрации справа не имеет самопересечений в 4-мерном пространстве. Они возникают только при проецировании в трехмерное пространство. Следовательно, диск корректно вложен в каждой точке, кроме сингулярности (где он не является локально плоским).

Кружечные узлы и группа конкордантности узлов

Два ориентированных узла называются конкордантными, если их соединенная сумма является сечением. Как и ранее, мы различаем топологическую и гладкую конкордантность. Через обозначается зеркальное отражение узла , при котором дополнительно меняется ориентация. Отношение "конкордантный" является рефлексивным, поскольку любой узел является сечением. Также можно показать, что оно транзитивно: если конкордантен и конкордантен , то конкордантен . Поскольку отношение также симметрично, оно является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности вместе с операцией соединенной суммы узлов образуют абелеву группу, называемую (топологической или гладкой) группой конкордантности узлов. Нейтральным элементом в этой группе является множество сечений (топологических или гладких, соответственно).

Примеры

Каждый узел ленты является узлом плавного разреза, поскольку, за исключением сингулярностей ленты, узел уже ограничивает встроенный диск в трехмерном пространстве. Сингулярности ленты могут быть деформированы в малой окрестности в четырехмерное пространство так, чтобы диск оставался встроенным. Существует 21 нетривиальный простой узел плавного разреза с числом пересечений. Это , , , , , , , , , , , , , , , , , , и . До этого числа пересечений нет топологически разрезаемых узлов, которые не были бы плавно разрезаемыми. Начиная с числа пересечений 11, существует такой пример: узел Конвея (названный в честь Джона Хортона Конвея) является топологически разрезаемым, но не плавно разрезаемым узлом. С другой стороны, узел Киношита-Терасака, так называемый "мутант" узла Конвея, является плавно разрезаемым. Узлы типа "скрутка", за исключением тривиального узла и узла "стеведор", не являются разрезаемыми. Все топологически и плавно разрезаемые узлы с числом пересечений известны. Композитные разрезаемые узлы до числа пересечений 12, помимо узлов вида и , включают два более интересных узла и .

Геометрическое описание соотношения конкордантности

В качестве альтернативы вышеуказанному определению конкордантности с использованием узлов-срезов существует также второе эквивалентное определение. Два ориентированных узла и являются конкордантными, если они являются границей (локально плоского или гладкого) цилиндра (в 4-мерном пространстве). Ориентации двух узлов должны быть согласованы с ориентацией цилиндра, что проиллюстрировано на третьем рисунке. Граница состоит из двух с разными ориентациями, поэтому в качестве границы цилиндра показаны два зеркально отраженных трефоли. Соединение двух узлов путем вырезания полосы из цилиндра дает диск, показывающий, что для всех узлов связная сумма является узлом-срезом. В обоих определениях узел является узлом-срезом тогда и только тогда, когда он конкордантен тривиальному узлу. Это также можно проиллюстрировать на первом рисунке в верхней части статьи: если вырезать небольшой диск в локальном минимуме в левом нижнем углу, то граница поверхности в этом месте будет тривиальным узлом, а сама поверхность – цилиндром. На другом конце цилиндра находится узел-срез. Если диск (или цилиндр) плавно вложен, его можно слегка деформировать до так называемого положения Морзе. Это полезно, поскольку критические точки относительно радиальной функции r несут геометрический смысл. В седловых точках тривиальные компоненты добавляются или уничтожаются (движения полосы, также называемые слиянием и делением). Для узлов-срезов возможно любое количество таких движений полосы, в то время как для ленточных узлов допускается только слияние, а деление – нет. На иллюстрации справа геометрическое описание конкордантности повернуто на 90°, а параметр r переименован в t. Это название хорошо подходит для временной интерпретации поверхности как "фильма".

4-род

Аналогичное определение, как и для узлов-срезов, может быть сделано для поверхностей большего рода. 4-род (также называемый "родом разреза") узла определяется как наименьший род погруженной поверхности в 4-мерном пространстве, границей которой является данный узел. Как и ранее, мы различаем топологический и гладкий 4-род. Узлы с 4-родом, равным 0, являются узлами-резами, поскольку диск, будучи простейшей поверхностью, имеет род 0. 4-род всегда меньше или равен роду узла, так как этот инвариант определяется с использованием поверхностей Зейферта, которые уже вложены в трехмерное пространство. Примеры узлов с различными значениями их топологического и гладкого 4-рода приведены в следующей таблице. Узел Конвея 11n34, как уже упоминалось, является первым примером в таблицах узлов узла, который является топологически, но не гладко разрезаемым. Судя по значениям в таблице, можно предположить, что гладкий и топологический 4-род всегда отличаются на 1, когда они не равны. Однако это не так, и разница может быть сколь угодно большой. Тем не менее, на данный момент (по состоянию на 2017 год) неизвестно, существуют ли чередующиеся узлы с разницей больше 1. 4-род (гладкий) 4 2 4 3 3 1 4-род (топологический) 3 1 3 2 2 0