Шестидесятеричная система счисления

Введение

Система счисления

Шестидесятеричная система, также известная как система с основанием 60, — это система счисления, в которой основанием является число шестьдесят. Она возникла у древних шумеров в III тысячелетии до н.э., была унаследована древними вавилонянами и до сих пор используется — в модифицированной форме — для измерения времени, углов и географических координат. Число 60, являющееся высоко составным числом, имеет двенадцать делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, среди которых 2, 3 и 5 — простые числа. Благодаря такому большому количеству делителей многие дроби, связанные с шестидесятеричными числами, упрощаются. Например, один час можно равномерно разделить на отрезки по 30 минут, 20 минут, 15 минут, 12 минут, 10 минут, 6 минут, 5 минут, 4 минуты, 3 минуты, 2 минуты и 1 минуту. 60 — наименьшее число, которое делится на каждое число от 1 до 6, то есть является наименьшим общим кратным чисел 1, 2, 3, 4, 5 и 6. В данной статье все шестидесятеричные цифры представлены десятичными числами, если не указано иное. Например, наибольшая шестидесятеричная цифра — "59".

Происхождение

По словам Отто Нойгебауэра, происхождение шестидесятеричной системы не так просто, последовательно и однозначно во времени, как это обычно представляется. На протяжении многих веков её использования, которое продолжается и сегодня в специализированных областях, таких как время, углы и астрономические системы координат, шестидесятеричные обозначения всегда содержали заметное влияние десятичной системы, например, в способе записи шестидесятеричных цифр. Их применение всегда включало (и продолжает включать) непоследовательность в том, где и как различные основания используются для представления чисел, даже в пределах одного текста. Главным стимулом для строгого и полностью самосогласованного использования шестидесятеричной системы всегда были её математические преимущества при записи и вычислении дробей. В древних текстах это проявляется в том, что шестидесятеричная система используется наиболее единообразно и последовательно в математических таблицах данных.

Другие исторические применения

В китайском календаре обычно используется система, в которой дни или годы называются по позициям в последовательности из десяти стеблей и в другой последовательности из 12 ветвей. Те же самые стебель и ветвь повторяются каждые 60 шагов в этом цикле. В VIII книге «Государства» Платона содержится аллегория брака, основанная на числе 604 = 12960000 и его делителях. Это число имеет особенно простое шестидесятеричное представление 1,0,0,0,0. Позднее ученые обращались к вавилонской математике и теории музыки в попытке объяснить этот отрывок. «Алмагест» Птолемея, трактат по математической астрономии, написанный во втором веке нашей эры, использует основание 60 для выражения дробных частей чисел. В частности, его таблица хорд, которая фактически была единственной обширной тригонометрической таблицей на протяжении более тысячелетия, содержит дробные части градуса в системе счисления по основанию 60 и была практически эквивалентна современной таблице значений функции синуса. Средневековые астрономы также использовали сексагезимальные числа для измерения времени. Аль-Бируни впервые разделил час на минуты, секунды, терции и кварты в 1000 году, обсуждая еврейские месяцы. Около 1235 года Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию, хотя Нотафт считал, что Сакробоско был первым, кто это сделал. Парижская версия Алфонсинских таблиц (ок. 1320 г.) использовала день в качестве основной единицы времени, записывая кратные и дробные части дня в системе счисления по основанию 60. Сексагезимальная система счисления продолжала широко использоваться европейскими астрономами для вычислений вплоть до 1671 года. Например, Йост Бюрги в «Fundamentum Astronomiae» (представленной императору Рудольфу II в 1592 году), его коллега Урсус в «Fundamentum Astronomicum», а возможно, и Генри Бриггс использовали таблицы умножения, основанные на сексагезимальной системе, в конце XVI века для вычисления синусов. В конце XVIII и начале XIX веков тамильские астрономы проводили астрономические вычисления, используя ракушки и смешанную десятичную и сексагезимальную систему счисления, разработанную эллинистическими астрономами. Системы счисления по основанию 60 также использовались в некоторых других культурах, не связанных с шумерами, например, народом Экари из Западной Новой Гвинеи.

In the Chinese calendar, a system is commonly used in which days or years are named by positions in a sequence of ten stems and in another sequence of 12 branches. The same stem and branch repeat every 60 steps through this cycle. Book VIII of Plato's Republic involves an allegory of marriage centered on the number 604 = 12960000 and its divisors. This number has the particularly simple sexagesimal representation 1,0,0,0,0. Later scholars have invoked both Babylonian mathematics and music theory in an attempt to explain this passage. Ptolemy's Almagest, a treatise on mathematical astronomy written in the second century AD, uses base 60 to express the fractional parts of numbers. In particular, his table of chords, which was essentially the only extensive trigonometric table for more than a millennium, has fractional parts of a degree in base 60, and was practically equivalent to a modern day table of values of the sine function. Medieval astronomers also used sexagesimal numbers to note time. Al Biruni first subdivided the hour sexagesimally into minutes, seconds, thirds and fourths in 1000 while discussing Jewish months. Around 1235 John of Sacrobosco continued this tradition, although Nothaft thought Sacrobosco was the first to do so. The Parisian version of the Alfonsine tables (ca. 1320) used the day as the basic unit of time, recording multiples and fractions of a day in base 60 notation. The sexagesimal number system continued to be frequently used by European astronomers for performing calculations as late as 1671. For instance, Jost Bürgi in Fundamentum Astronomiae (presented to Emperor Rudolf II in 1592), his colleague Ursus in Fundamentum Astronomicum, and possibly also Henry Briggs, used multiplication tables based on the sexagesimal system in the late 16th century, to calculate sines. In the late 18th and early 19th centuries, Tamil astronomers were found to make astronomical calculations, reckoning with shells using a mixture of decimal and sexagesimal notations developed by Hellenistic astronomers. Base 60 number systems have also been used in some other cultures that are unrelated to the Sumerians, for example by the Ekari people of Western New Guinea.

Современное использование

Современные способы использования сексагесимальной системы включают измерение углов, географических координат, электронную навигацию и время. Один час времени делится на 60 минут, а одна минута делится на 60 секунд. Таким образом, измерение времени, такое как 3:23:17 (3 часа, 23 минуты и 17 секунд), может быть интерпретировано как целое сексагесимальное число (без сексагесимальной точки), что означает, что каждая из трех сексагесимальных цифр в этом числе (3, 23 и 17) записывается с использованием десятичной системы. Аналогично, практической единицей угловой меры является градус, которого 360 (шесть десятков по шестьдесят) в круге. В одном градусе 60 угловых минут, а в одной угловой минуте 60 угловых секунд.

ЯМЛ

В версии 1.1 формата хранения данных YAML поддерживались шестидесятеричные числа для простых скаляров и они были формально определены как для целых чисел, так и для чисел с плавающей точкой. Это приводило к путанице, поскольку, например, некоторые MAC-адреса распознавались как шестидесятеричные и загружались как целые числа, а другие – как строки. В YAML 1.2 поддержка шестидесятеричных чисел была исключена.

Обозначения

В эллинистических греческих астрономических текстах, таких как труды Птолемея, шестидесятеричные числа записывались с использованием греческих алфавитных numeral, причём каждая шестидесятеричная цифра рассматривалась как отдельное число. Эллинистические астрономы приняли новый символ для нуля, , который с течением веков трансформировался в другие формы, включая греческую букву омикрон, ο, обычно обозначающую 70, но допустимую в сексагезимальной системе, где максимальное значение в любой позиции равно 59. Греки ограничили использование шестидесятеричных чисел дробной частью числа. В средневековых латинских текстах сексагезимальные числа записывались арабскими цифрами; различные уровни дробей обозначались как минута (то есть дробь), минута секунда, минута третья и т. д. К XVII веку стало принято обозначать целую часть шестидесятеричных чисел надстрочным нулём, а различные дробные части – одним или несколькими знаками ударения. Джон Уоллис в своей "Mathesis universalis" обобщил эту нотацию, включив в неё более высокие кратные числа 60, приведя в качестве примера число 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗; где числа слева умножаются на более высокие степени 60, числа справа делятся на степени 60, а число, обозначенное надстрочным нулём, умножается на 1. Эта нотация привела к современным обозначениям градусов, минут и секунд. Та же номенклатура минут и секунд также используется для единиц времени, а современная запись времени с часами, минутами и секундами, записанными десятичными цифрами и разделёнными двоеточиями, может быть интерпретирована как форма шестидесятеричной нотации. В некоторых системах использования каждой позиции после сексагезимальной точки присваивался номер с использованием латинских или французских корней: prime или primus, seconde или secundus, tierce, quatre, quinte и т. д. До сих пор мы называем часть второго порядка часа или градуса «секундой». Вплоть до XVIII века третью часть секунды называли «терцией» или «третьей». В 1930-х годах Отто Нойгебауэр ввёл современную систему обозначения вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современную десятичную нотацию от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и запятую (,) для разделения позиций внутри каждой части. Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор применяемый в еврейском календаре, составляет 29;31,50,8,20 дней. Эта нотация используется в данной статье.

In Hellenistic Greek astronomical texts, such as the writings of Ptolemy, sexagesimal numbers were written using Greek alphabetic numerals, with each sexagesimal digit being treated as a distinct number. Hellenistic astronomers adopted a new symbol for zero, , which morphed over the centuries into other forms, including the Greek letter omicron, ο, normally meaning 70, but permissible in a sexagesimal system where the maximum value in any position is 59. The Greeks limited their use of sexagesimal numbers to the fractional part of a number. In medieval Latin texts, sexagesimal numbers were written using Arabic numerals; the different levels of fractions were denoted minuta (i. e., fraction), minuta secunda, minuta tertia, etc. By the 17th century it became common to denote the integer part of sexagesimal numbers by a superscripted zero, and the various fractional parts by one or more accent marks. John Wallis, in his Mathesis universalis, generalized this notation to include higher multiples of 60; giving as an example the number 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗; where the numbers to the left are multiplied by higher powers of 60, the numbers to the right are divided by powers of 60, and the number marked with the superscripted zero is multiplied by 1. This notation leads to the modern signs for degrees, minutes, and seconds. The same minute and second nomenclature is also used for units of time, and the modern notation for time with hours, minutes, and seconds written in decimal and separated from each other by colons may be interpreted as a form of sexagesimal notation. In some usage systems, each position past the sexagesimal point was numbered, using Latin or French roots: prime or primus, seconde or secundus, tierce, quatre, quinte, etc. To this day we call the second order part of an hour or of a degree a "second". Until at least the 18th century, of a second was called a "tierce" or "third". In the 1930s, Otto Neugebauer introduced a modern notational system for Babylonian and Hellenistic numbers that substitutes modern decimal notation from 0 to 59 in each position, while using a semicolon (;) to separate the integer and fractional portions of the number and using a comma (,) to separate the positions within each portion. For example, the mean synodic month used by both Babylonian and Hellenistic astronomers and still used in the Hebrew calendar is 29;31,50,8,20 days. This notation is used in this article.