Пропорциональное мышление и стратегии решения задач

Введение

Рассуждения, основанные на пропорциональных соотношениях, являются одной из форм "формального операционного мышления" в теории когнитивного развития Пиаже, которое формируется на более поздних этапах интеллектуального развития. Существуют методы, позволяющие учителям направлять учащихся в правильном применении пропорционального мышления.

Интеллектуальное развитие

В модели интеллектуального развития Пиаже четвертая и заключительная стадия – стадия формальных операций. В классической книге Жана Пиаже и Барбеля Инхелдера «Рост логического мышления от детства до подросткового возраста» формальное оперативное мышление проявляется во множестве форм, включая пропозициональное мышление, дедуктивную логику, умение выделять и контролировать переменные, комбинаторное мышление и пропорциональное мышление. Роберт Карплюс, педагог в области естественных наук 1960-х и 1970-х годов, исследовал все эти формы мышления у подростков и взрослых. Исследование «Мистер Высокий – Мистер Низкий» было одним из его проектов.

Обратная пропорция

Для обратной пропорциональности существуют аналогичные схемы рассуждений.

Рассматривать эти стратегии как функциональные отношения

Пусть T – рост мистера Высокого, а S – рост мистера Низкого, тогда правильная мультипликативная стратегия может быть выражена как T/S = 3/2; это отношение постоянной величины. Неправильная аддитивная стратегия может быть выражена как T – S = 2; это отношение постоянной разности. Вот график для этих двух уравнений. Для числовых значений, представленных в условии задачи, эти графики "похожи", и легко понять, почему люди считают свои неправильные ответы вполне разумными. Теперь рассмотрим нашу обратную пропорцию, используя "водный треугольник". Пусть L – высота воды с левой стороны, а R – высота воды с правой стороны, тогда правильная мультипликативная стратегия может быть выражена как L * R = 24; это отношение постоянного произведения. Неправильная аддитивная стратегия может быть выражена как L + R = 10; это отношение постоянной суммы. Вот график для этих двух уравнений. Для числовых значений, представленных в условии задачи, эти графики "похожи", и легко понять, почему люди считают свои неправильные ответы вполне разумными.

Учение пропорционального рассуждения

Как может подтвердить любой опытный учитель, недостаточно просто сказать ученику, что его ответ неверен, и затем указать ему правильное решение. Неправильная стратегия не была искоренена в сознании и может возникнуть снова после окончания урока. Кроме того, аддитивные стратегии, упомянутые выше, нельзя просто назвать "неправильными", поскольку они могут быть верными в других реальных ситуациях. Например, рассмотрим следующую задачу:

В День независимости в этом году мистеру Высокому было 6 лет, а мистеру Низкому – 4 года. В будущем, в День независимости, мистеру Низкому исполнится 6 лет. Сколько лет будет мистеру Высокому в этот День независимости? Аналогично, отношение с постоянной суммой может быть верным в некоторых ситуациях. Рассмотрим следующую задачу: на левой стороне реки четыре бобра, а на правой – шесть. Позже, с той же группой бобров, на правой стороне реки стало восемь бобров. Сколько бобров будет на левой стороне? Таким образом, существуют ситуации, в которых верны аддитивные отношения (постоянная разность и постоянная сумма), а в других – мультипликативные отношения (постоянное отношение и постоянное произведение).

Использование практических занятий и цикл обучения Karplus

Крайне важно, чтобы студенты самостоятельно осознали, что их текущий способ рассуждения, например, аддитивный, не подходит для мультипликативной задачи, которую они пытаются решить. Роберт Карплюс разработал модель обучения, которую он назвал циклом обучения, способствующую усвоению новых навыков рассуждения. Первый этап – это этап исследования, в ходе которого студенты учатся посредством собственных действий и реакций с минимальным руководством. Учебная среда должна быть тщательно спроектирована, чтобы сосредоточить внимание студентов на соответствующих вопросах. Учащиеся могут испытывать некоторое когнитивное диссонанс, если обнаружат, что их существующая стратегия не соответствует наблюдаемым результатам. Это может привести к вопросам, на которые они не смогут ответить, опираясь на свои текущие представления или модели рассуждения. На втором этапе концепция представляется и объясняется. Здесь учитель проявляет большую активность, а обучение достигается посредством объяснений. Наконец, на третьем этапе концепция применяется к новым ситуациям, и расширяется область ее применимости. Обучение достигается путем повторения и практики, чтобы новые идеи и способы мышления успели закрепиться. Практические занятия чрезвычайно полезны в цикле обучения. После того, как студенты сделают прогнозы о высоте мистера Высокого, измеряемой скрепками, можно представить измерительные инструменты, и они смогут проверить свои стратегии. Для студента, использующего отношение постоянной разности, фактическое измерение покажет, что мистер Высокий имеет высоту девять скрепок, что вызовет когнитивный диссонанс. То же самое верно и для обратных соотношений. Вот фотография двух студентов, работающих с «водяным треугольником». Учитывая вышеупомянутую задачу, большинство студентов предсказывают, что уровень воды с левой стороны опустится до двух единиц, когда водяной треугольник будет наклонен. Когда они проведут эксперимент и увидят, что ответ – 3 единицы, это вызовет когнитивный диссонанс. Это идеальное время для учителя, чтобы перейти к второму этапу цикла обучения. Важно, чтобы студенты не переносили мультипликативные стратегии, которые они усвоили, на все случаи жизни. Поэтому некоторые практические задания могут не основываться на мультипликативном соотношении. Вот фотография двух студентов, работающих с установкой, в которой верно отношение постоянной суммы. Не всегда возможно или целесообразно предоставить студентам тщательно разработанные практические задания. Кроме того, старшая аудитория не всегда положительно реагирует на использование практических экспериментов. Однако часто можно вызвать когнитивный диссонанс с помощью мысленных экспериментов.

It is critically important that students on their own recognize that their current mode of reasoning, say that it is additive, is inappropriate for a multiplicative problem they are trying to solve. Robert Karplus developed a model of learning he called the learning cycle that facilitates the acquisition of new reasoning skills. The first phase is one of exploration in which students learn through their own actions and reactions with minimal guidance. The learning environment has to be carefully designed to focus student's attention on the relevant issues. Learners may experience some cognitive dissonance if they discover their pre existing strategy does not match observed results. This may lead to questions that they cannot answer with their present ideas or reasoning patterns. In the second phase the concept is introduced and explained. Here the teacher is more active, and learning is achieved by explanation. Finally, in the third phase, the concept is applied to new situations and its range of applicability is extended. Learning is achieved by repetition and practice so that new ideas and ways of thinking have time to stabilize. Hands on activities are extremely useful in the learning cycle. After making predictions about the height of Mr. Tall in paper clips, the measuring tools can be introduced and the students can test their strategies. For the student using a constant difference relation, actual measurement will show that Mr. Tall is actually nine paper clips high and this will set up some cognitive dissonance. The same is true for the inverse relations. Here is a picture of two students working with the “water triangle.” Given the problem noted above, most students predict the water level on the left side will drop to two units when the water triangle is tilted. When they carry out the experiment and see that the answer is 3 units, this establishes some cognitive dissonance. This is a prime time for the teacher to move the lesson into the second stage of the learning cycle. It is important that the students not over apply the multiplicative strategies they learn. Therefore, some of the hands on activities might not be based on a multiplicative relation. Here is a picture of two students working with an apparatus where the constant sum relation is correct. It is not always possible or feasible to put carefully designed hands on activities into the hands of students. Also, older audiences do not always react well to using hands on experimentation. However, it is often possible to introduce cognitive dissonance through thought experiments.

Определение правильной связи на основе мысленных экспериментов

Во всех описанных выше экспериментах есть две переменные, значения которых меняются в соответствии с фиксированной зависимостью. Рассмотрим следующую задачу, аналогичную задаче о мистере Высоком и мистере Низком. Вот фотография отца и дочери. На этой фотографии дочь 4 см, а отец 6 см. Они решили увеличить фотографию, и на увеличенной фотографии дочь 6 см. Какого роста отец на этой увеличенной фотографии? Распространенный ответ от человека, использующего аддитивную зависимость, – 8 см, поскольку отец всегда на 2 см выше дочери. Теперь задайте этому ученику следующий вопрос: предположим, они сделали очень маленькую версию исходной фотографии, и на этой маленькой фотографии отец 2 см. Какого роста будет дочь на этой маленькой фотографии? Ученик быстро понимает, что стратегия «отец всегда на 2 см выше дочери» неверна. Это также можно продемонстрировать, рассмотрев другую крайность: исходная фотография увеличена до размера плаката, и дочь 100 см. Какого роста будет отец на этом плакате? Ученик, ответивший 102 см, понимает, что отец и дочь почти одного роста, что не может быть правдой. Когда возникает когнитивный диссонанс, учитель может представить правильную зависимость – постоянное отношение. Ученика также можно побудить к собственным мысленным экспериментам, например: «Что произойдет с ростом отца, если рост дочери удвоится при увеличении?» Большинство учеников, включая тех, кто все еще находится на стадии конкретных операций, быстро ответят, что рост отца также должен удвоиться. Абстрактный мысленный эксперимент: «Предположим, что одна из переменных удваивается, как изменится другая переменная?» Если ответ – «удвоится», то, вероятно, это задача на постоянное отношение. Но если ответ не «удвоится», как в задаче о возрасте с мистером Высоким и мистером Низким, то это не задача на постоянное отношение. Для обратных зависимостей, таких как «водяной треугольник», предельные случаи также могут вызывать когнитивный диссонанс. Например: при начальных условиях, когда уровень воды слева 4 единицы, а справа 6 единиц, предскажите уровень воды слева, если треугольник наклонить до тех пор, пока уровень воды справа не станет 10 единиц. В этот момент ученики откажутся от аддитивной стратегии, понимая, что 0 не может быть правильным ответом. Можно провести мысленный эксперимент для обратных зависимостей. Если одна переменная удваивается, что происходит с другой переменной? Если ответ – ½, то это может быть постоянным произведением (то есть обратной пропорцией). Построение графиков значений переменных также может быть полезным инструментом для определения, являются ли две переменные прямо пропорциональными или нет. Если они прямо пропорциональны, то значения должны лежать на прямой линии, проходящей через начало координат.

In all the experiments noted above there are two variables whose values change based on a fixed relation. Consider the following problem that is similar to the Mr. Tall and Mr. Short problem. Here is a photograph of a father and a daughter. In this picture the daughter is 4 cm high and the father is 6 cm high. They decided to enlarge the picture and in the bigger picture the daughter is 6 cm high. How high is the father in the larger picture? A very common answer for an individual using an additive relation is 8 cm because the father is always 2 cm higher than his daughter. So now ask this student the following question:

Suppose they made a very small version of the original picture and in this small picture the father is 2 cm high. How high will the daughter be in this small picture? The student quickly realizes that the strategy “the father is always 2 cm higher than his daughter” is not correct. This can also be achieved by exploring the other extreme where the original picture is blown up to poster size and the daughter is 100 cm high. How high will the father be in this poster? A student answering 102 cm realizes that the father and daughter are almost the same height which cannot be right. Once cognitive dissonance is present, the teacher can introduce the correct relation, constant ratio. The student can also be encouraged to conduct their own thought experiments, such as “what if the height of the daughter doubles in an enlargement, what will happen to the height of the father?” Most students, including those still at the concrete operational stage, will quickly answer that the father's height must also double. The abstract thought experiment is: “Suppose that one of the variables is doubled in value, how will the other variable change?” If the answer is “double”, then this may be a constant ratio problem. But if the answer is not double, such as for the age problem with Mr. Tall and Mr. Short given above, then it is not a constant ratio problem. For inverse relations, such as the “water triangle”, limiting cases can also introduce cognitive dissonance. For example:

Given the initial conditions with the water level on the left at 4 units and the water level on the right at 6 units, predict what is the water level on the left if the triangle is tilted until the water level on the right is 10 units. Students will abandon the additive strategy at this point realizing that 0 cannot be the correct answer. A thought experiment can be performed for inverse relations. If one variable doubles in value, what happens to the other variable? If the answer is ½ then this might be a constant product relation (that is, an inverse proportion). Plotting the values of variables can also be a valuable tool for identifying whether two variables are directly proportional or not. If they are directly proportional, then the values should be on a straight line and that line should intersect the origin.