Введение
2000 математическая книга Лакоффа и Нунеса "Откуда берется математика: как воплощенный разум создает математику" (далее WMCF) – книга Джорджа Лакоффа, когнитивного лингвиста, и Рафаэля Э. Нунеса, психолога. Опубликованная в 2000 году, WMCF стремится заложить основы когнитивной науки математики, теории воплощенной математики, базирующейся на концептуальной метафоре.
Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being (hereinafter WMCF) is a book by George Lakoff, a cognitive linguist, and Rafael E. Núñez, a psychologist. Published in 2000, WMCF seeks to found a cognitive science of mathematics, a theory of embodied mathematics based on conceptual metaphor.
Человеческое познание и математика
Заявленная цель Лакоффа и Нунеса — начать закладывать основы для подлинно научного понимания математики, основанного на процессах, общих для всего человеческого познания. Они обнаруживают, что четыре различных, но связанных между собой процесса метафорически структурируют базовую арифметику: собирание объектов, конструирование объектов, использование измерительной линейки и движение по пути. WMCF опирается на более ранние книги Лакоффа (1987) и Лакоффа и Джонсона (1980, 1999), которые анализируют такие понятия, как метафора и схемы изображений, в рамках когнитивной науки второго поколения. Некоторые концепции из этих ранних книг, например, интересные технические идеи в Lakoff (1987), отсутствуют в WMCF. Лакофф и Нунес утверждают, что математика является результатом человеческого когнитивного аппарата и, следовательно, должна пониматься в когнитивных терминах. WMCF выступает за (и включает некоторые примеры) когнитивный анализ идей математики, который анализирует математические идеи с точки зрения человеческого опыта, метафор, обобщений и других когнитивных механизмов, порождающих их. Стандартное математическое образование не развивает такие методы анализа идей, поскольку не рассматривает вопросы о том, какие структуры ума позволяют заниматься математикой или о философии математики. Лакофф и Нунес начинают с обзора психологической литературы, заключая, что у людей, по-видимому, есть врожденная способность, называемая субитилизацией, считать, складывать и вычитать до примерно 4 или 5. Они подтверждают это заключение, рассматривая литературу, опубликованную в последние десятилетия, описывающую эксперименты с младенцами. Например, младенцы быстро проявляют возбуждение или любопытство, когда им представляют «невозможные» ситуации, такие как появление трех игрушек, когда изначально присутствовало только две. Авторы утверждают, что математика выходит далеко за пределы этого элементарного уровня из-за большого количества метафорических конструкций. Например, пифагорейское представление о том, что все есть число, и связанный с этим кризис уверенности, возникший с открытием иррациональности квадратного корня из двух, возникает исключительно из метафорической связи между длиной диагонали квадрата и возможным числом объектов. Большая часть WMCF посвящена важным понятиям бесконечности и предельных процессов, стремясь объяснить, как конечные люди, живущие в конечном мире, могут в конечном итоге постичь актуальную бесконечность. Таким образом, значительная часть WMCF, по сути, является исследованием эпистемологических основ математического анализа. Лакофф и Нунес заключают, что потенциальная бесконечность не является метафорической, а актуальная бесконечность — да. Более того, они считают все проявления актуальной бесконечности примерами того, что они называют «Базовой метафорой бесконечности», представленной постоянно возрастающей последовательностью 1, 2, 3… WMCF решительно отвергает платоническую философию математики. Они подчеркивают, что все, что мы знаем и можем когда-либо знать, — это человеческая математика, математика, возникающая из человеческого интеллекта. Вопрос о том, существует ли «трансцендентная» математика, независимая от человеческой мысли, — бессмысленный вопрос, подобный вопросу о том, являются ли цвета трансцендентными для человеческой мысли: цвета — это лишь изменяющиеся длины волн света, именно наша интерпретация физических стимулов делает их цветами. WMCF (с. 81) также критикует акцент, который математики придают понятию замкнутости. Лакофф и Нунес утверждают, что ожидание замкнутости является артефактом способности человеческого разума связывать принципиально различные понятия посредством метафоры. WMCF в основном занимается предложением и установлением альтернативного взгляда на математику, основанного на реалиях человеческой биологии и опыта. Это не работа по технической математике или философии. Лакофф и Нунес не первые, кто утверждает, что традиционные подходы к философии математики несостоятельны. Например, они, похоже, не очень хорошо знакомы с содержанием Davis and Hersh (1981), хотя в книге тепло приветствуется поддержка Херша. Лакофф и Нунес ссылаются на Со́ндерса Мак-Ле́йна (изобретателя, вместе с Сэмюэлем Эйленбергом, теории категорий) в поддержку своей позиции. «Математика, форма и функция» (1986), обзор математики, предназначенный для философов, предполагает, что математические понятия в конечном итоге укоренены в обыденной человеческой деятельности, в основном во взаимодействии с физическим миром. Педагоги проявили некоторый интерес к тому, что WMCF говорит о том, как изучается математика и почему студентам некоторые элементарные понятия кажутся более сложными, чем другие. Однако даже с педагогической точки зрения WMCF все еще проблематичен. С точки зрения теории концептуальной метафоры, метафоры находятся в другой области, абстрактной, в отличие от «реального мира», конкретного. Другими словами, несмотря на их утверждение о человеческой природе математики, установленные математические знания — то, что мы изучаем в школе — предполагаются и рассматриваются как абстрактные, полностью оторванные от их физического происхождения. Это не может объяснить, как учащиеся могут получить доступ к этим знаниям. WMCF также подвергается критике за свой монистический подход. Во-первых, он игнорирует тот факт, что сенсомоторный опыт, на котором, как предполагается, основана наша лингвистическая структура — и, следовательно, математика — может варьироваться в разных культурах и ситуациях. Во-вторых, математика, которой занимается WMCF, — это «почти исключительно стандартные высказывания в учебниках и учебных программах» (Rotman, 2008).
WMCF emphatically rejects the Platonistic philosophy of mathematics. They emphasize that all we know and can ever know is human mathematics, the mathematics arising from the human intellect. The question of whether there is a "transcendent" mathematics independent of human thought is a meaningless question, like asking if colors are transcendent of human thought—colors are only varying wavelengths of light, it is our interpretation of physical stimuli that make them colors. WMCF (p. 81) likewise criticizes the emphasis mathematicians place on the concept of closure. Lakoff and Núñez argue that the expectation of closure is an artifact of the human mind's ability to relate fundamentally different concepts via metaphor. WMCF concerns itself mainly with proposing and establishing an alternative view of mathematics, one grounding the field in the realities of human biology and experience. It is not a work of technical mathematics or philosophy. Lakoff and Núñez are not the first to argue that conventional approaches to the philosophy of mathematics are flawed. For example, they do not seem all that familiar with the content of Davis and Hersh (1981), even though the book warmly acknowledges Hersh's support. Lakoff and Núñez cite Saunders Mac Lane (the inventor, with Samuel Eilenberg, of category theory) in support of their position. Mathematics, Form and Function (1986), an overview of mathematics intended for philosophers, proposes that mathematical concepts are ultimately grounded in ordinary human activities, mostly interactions with the physical world. Educators have taken some interest in what WMCF suggests about how mathematics is learned, and why students find some elementary concepts more difficult than others. However, even from an educational perspective, WMCF is still problematic. From the conceptual metaphor theory's point of view, metaphors reside in a different realm, the abstract, from that of 'real world', the concrete. In other words, despite their claim of mathematics being human, established mathematical knowledge — which is what we learn in school — is assumed to be and treated as abstract, completely detached from its physical origin. It cannot account for the way learners could access to such knowledge. WMCF is also criticized for its monist approach. First, it ignores the fact that the sensori motor experience upon which our linguistic structure — thus, mathematics — is assumed to be based may vary across cultures and situations. Second, the mathematics WMCF is concerned with is "almost entirely standard utterances in textbooks and curricula", Rotman, 2008).