Пропорционалдық қатынастар мен логикалық ой-дамыту

Кіріспе

Пропорционалдық қатынастарға негізделген ойлау – Пиаже танымдық даму теориясында "формальды операциялық ойлау" деп аталатын ойлаудың бір түрі және ол интеллектуалды дамудың соңғы кезеңдерінде пайда болады. Мұғалімдер оқушыларға пропорционалдық ойлауды дұрыс қолдануға бағыт беруге болатын әдістерге ие.

Зияткерлік даму

Пиажедің интеллектуалды даму үлгісінде төртінші және соңғы кезең – формальды операциялық кезең. Жан Пиаже мен Барбель Инхелдердің «Балалық шақтан жасөспірімге дейінгі логикалық ойлаудың дамуы» атты классикалық кітабында формальды операциялық ойлау көптеген түрлерде көрінеді, оның ішінде: пікірлік ойлау, дедуктивті логика, айнымалыларды бөліп қарау және бақылау, комбинаторлық ойлау және пропорционалдық ойлау. 1960-1970 жылдары ғылым саласындағы педагог Роберт Карплюс жасөспірімдер мен ересектердегі осы ойлау түрлерін зерттеді. «Мырза Ұзын» және «Мырза Қысқа» оның жүргізген зерттеулерінің бірі болды.

Кері пропорция

Кері пропорция үшін де ұқсас логикалық ойлау қалыптары бар.

Бұл стратегияларды функционалдық қатынастар ретінде қарау

T мырзаның бойы болсын, ал S мырзаның бойы қысқа болсын, онда дұрыс көбейту стратегиясы T/S = 3/2 түрінде беріледі; бұл тұрақты қатынас. Дұрыс емес қосу стратегиясы T – S = 2 түрінде беріледі; бұл тұрақты айырма. Осы екі теңдеудің графигі осында. Мәселеде берілген сандық мәндер үшін бұл графиктер «ұқсас» және адамдардың неліктен өздерінің дұрыс емес жауаптарын толыққанды логикалық деп санайтынын көру оңай. Енді «су үшбұрышы» арқылы кері пропорцияны қарастырайық. L – сол жақтағы судың биіктігі, ал R – оң жақтағы судың биіктігі болсын, онда дұрыс көбейту стратегиясы L * R = 24 түрінде беріледі; бұл тұрақты көбейтінді. Дұрыс емес қосу стратегиясы L + R = 10 түрінде беріледі; бұл тұрақты қосынды. Осы екі теңдеудің графигі осында. Мәселеде берілген сандық мәндер үшін бұл графиктер «ұқсас» және адамдардың неліктен өздерінің дұрыс емес жауаптарын толыққанды логикалық деп санайтынын көру оңай.

Қалыпты ойлауды үйрету

Тәжірибелі мұғалімнің айтуынша, оқушыға жауабы дұрыс емес деп айтып, содан кейін дұрыс шешімді қолдануды тапсыру жеткіліксіз. Қате стратегия "мида түбегейлі өзгертілмеген" және ағымдағы сабақ аяқталғаннан кейін қайтадан пайда болады. Сонымен қатар, жоғарыда аталған қосымша стратегияларды жай ғана "қате" деп атауға болмайды, себебі олар кейбір нақты жағдайларға сәйкес келеді. Мысалы, келесі есепті қарастырайық:

Тәуелсіздік күнінде Биік 6 жаста, ал Мистер Шорт 4 жаста болды. Келешектегі Тәуелсіздік күнінде Мистер Шорт 6 жасқа толады. Ол күні Биік қанша жаста болады? Сол сияқты, тұрақты сома қатынасы да кейбір жағдайларда дұрыс болуы мүмкін. Келесі есепті қарастырайық. Өзеннің сол жағында төрт, ал оң жағында алты бобр бар. Бір уақыттан кейін, бобрлардың сол тобында өзеннің оң жағында сегіз бобр болады. Онда өзеннің сол жағында қанша бобр болады? Демек, қосымша қатынастар (тұрақты айырма және тұрақты сома) кейбір жағдайларда дұрыс, ал көбейту қатынастары (тұрақты пропорция және тұрақты көбейтінді) басқа жағдайларда дұрыс болады.

Практикалық іс-шараларды қолдану және Karplus оқыту циклы

Оқушылардың өздері ойлаудың қазіргі тәсілдерін, мысалы, қосымша есептеуді, шешуге тырысатын көбейту есебі үшін сәйкес емес екенін мойындауы өте маңызды. Роберт Карплюс жаңа ойлау дағдыларын қалыптастыруға көмектесетін оқыту циклі деп аталатын оқыту моделін жасады. Бірінші кезең – зерттеу, онда оқушылар минималды басшылықпен өз әрекеттері мен реакциялары арқылы білім алады. Оқу ортасы оқушының назарын маңызды мәселелерге шоғырландыру үшін мұқият жоспарлануы керек. Оқушылардың бұрынғы стратегиялары байқалған нәтижелермен сәйкес келмесе, олар когнитивтік диссонанс сезінуі мүмкін. Бұл олардың қазіргі идеяларымен немесе ойлау үлгілерімен жауап бере алмайтын сұрақтарға әкелуі мүмкін. Екінші кезеңде түсінік енгізіліп, түсіндіріледі. Мұнда мұғалім белсендірек болады және білім түсіндіру арқылы жетістікке жетеді. Соңында, үшінші кезеңде түсінік жаңа жағдайларға қолданылады және оның қолданылу аймағы кеңейтіледі. Жаңа идеялар мен ойлау тәсілдері орнығуы үшін білім қайталау және жаттығу арқылы жетістікке жетеді. Оқу циклінде тәжірибелік іс-әрекеттер өте пайдалы. Мырза Биіктейдің биіктігін қағаз қыстырғыштармен болжағаннан кейін өлшеу құралдарын енгізуге және оқушылар өз стратегияларын сынап көруге болады. Тұрақты айырмашылық қатынасын қолданатын оқушы үшін нақты өлшеу Мырза Биіктейдің биіктігі 9 қағаз қыстырғышқа тең екенін көрсетеді, бұл когнитивтік диссонанс тудырады. Бұл кері қатынастар үшін де дұрыс. Міне, екі оқушының «су үшбұрышымен» жұмыс істеп жатқан суреті. Жоғарыда айтылған мәселені ескере отырып, көптеген оқушылар су үшбұрышы еңкейген кезде сол жақтағы су деңгейі 2 бірлікке төмендейді деп болжайды. Эксперимент жүргізіп, жауап 3 бірлік екенін көргенде, когнитивтік диссонанс пайда болады. Бұл мұғалім үшін сабақты оқыту циклінің екінші кезеңіне көшіруге қолайлы уақыт. Оқушылардың алған көбейту стратегияларын шамадан тыс қолданбауы маңызды. Сондықтан кейбір тәжірибелік іс-әрекеттер көбейту қатынасына негізделмеуі мүмкін. Міне, екі оқушының тұрақты сома қатынасы дұрыс болатын құралмен жұмыс істеп жатқан суреті. Мұқият жоспарланған тәжірибелік іс-әрекеттерді оқушылардың қолына салу әрқашан мүмкін немесе орынды емес. Сонымен қатар, үлкен аудитория тәжірибелік эксперименттерді қолдануға жақсы жауап бермейді. Дегенмен, когнитивтік диссонансты ой эксперименттері арқылы енгізуге болады.

It is critically important that students on their own recognize that their current mode of reasoning, say that it is additive, is inappropriate for a multiplicative problem they are trying to solve. Robert Karplus developed a model of learning he called the learning cycle that facilitates the acquisition of new reasoning skills. The first phase is one of exploration in which students learn through their own actions and reactions with minimal guidance. The learning environment has to be carefully designed to focus student's attention on the relevant issues. Learners may experience some cognitive dissonance if they discover their pre existing strategy does not match observed results. This may lead to questions that they cannot answer with their present ideas or reasoning patterns. In the second phase the concept is introduced and explained. Here the teacher is more active, and learning is achieved by explanation. Finally, in the third phase, the concept is applied to new situations and its range of applicability is extended. Learning is achieved by repetition and practice so that new ideas and ways of thinking have time to stabilize. Hands on activities are extremely useful in the learning cycle. After making predictions about the height of Mr. Tall in paper clips, the measuring tools can be introduced and the students can test their strategies. For the student using a constant difference relation, actual measurement will show that Mr. Tall is actually nine paper clips high and this will set up some cognitive dissonance. The same is true for the inverse relations. Here is a picture of two students working with the “water triangle.” Given the problem noted above, most students predict the water level on the left side will drop to two units when the water triangle is tilted. When they carry out the experiment and see that the answer is 3 units, this establishes some cognitive dissonance. This is a prime time for the teacher to move the lesson into the second stage of the learning cycle. It is important that the students not over apply the multiplicative strategies they learn. Therefore, some of the hands on activities might not be based on a multiplicative relation. Here is a picture of two students working with an apparatus where the constant sum relation is correct. It is not always possible or feasible to put carefully designed hands on activities into the hands of students. Also, older audiences do not always react well to using hands on experimentation. However, it is often possible to introduce cognitive dissonance through thought experiments.

Ой эксперименттері негізінде дұрыс қатынасты анықтау

Жоғарыда аталған барлық тәжірибелерде екі айнымалы бар, олардың мәндері белгілі бір қатынас бойынша өзгереді. Мырза Биік пен Мырза Қысқаның мәселесіне ұқсас келесі мәселені қарастырайық. Бұл – әке мен қыздың суреті. Суретте қыздың бойы 4 см, әкенің бойы 6 см. Олар суретті үлкейтуге шешім қабылдады, ал үлкейтілген суретте қыздың бойы 6 см. Үлкейтілген суретте әкенің бойы қанша болады? Қосымша қатынас қолданатын адам үшін ең көп таралған жауап – 8 см, себебі әкесі әрқашан қызынан 2 см жоғары. Енді осы оқушыға келесі сұрақ қойыңыз: Егер түпнұсқа суреттің өте кішкентай нұсқасын жасаса, кішкентай суретте әкенің бойы 2 см болса, онда қыздың бойы қанша болады? Оқушы «Әке әрқашан қызынан 2 см жоғары» деген стратегияның дұрыс еместігін тез түсінеді. Осыған жетудің тағы бір жолы – түпнұсқа суретті плакатқа дейін үлкейтіп, қыздың бойын 100 см-ге жеткізу. Плакатта әкенің бойы қанша болады? 102 см деп жауап берген оқушы әкесі мен қызының бойы шамалы екенін түсінеді, бұл дұрыс емес. Когнитивтік диссонанс туғаннан кейін мұғалім дұрыс қатынасты, яғни тұрақты қатынасты түсіндіре алады. Оқушыны өз ой-тәжірибелерін жүргізуге ынталандыруға болады, мысалы: «Егер қыздың бойы үлкейту кезінде екі есеге артса, әкенің бойы не болады?» Көптеген оқушылар, тіпті нақты операциялық сатыдағылар да, әкенің бойы да екі есеге артуы керек деп тез жауап береді. Абстрактілі ой-тәжірибесі: «Егер бір айнымалының мәні екі есеге артса, екінші айнымалы қалай өзгереді?» Егер жауап «екі есе» болса, онда бұл тұрақты қатынас мәселесі болуы мүмкін. Бірақ егер жауап екі есе емес болса, мысалы, жоғарыдағы Мырза Биік пен Мырза Қысқаның жасына қатысты мәселеде, онда бұл тұрақты қатынас мәселесі емес. Кері қатынастар үшін, мысалы, «су үшбұрышы» үшін шекті жағдайлар да когнитивтік диссонанс тудыруы мүмкін. Мысалы: Су деңгейі сол жақта 4 бірлікте, ал оң жақта 6 бірлікте болған бастапқы шарттарды ескере отырып, үшбұрышты оң жақтағы су деңгейі 10 бірлікке жеткенше еңкейткенде сол жақтағы су деңгейі қандай болады? Оқушылар осы сәтте 0 дұрыс жауап бола алмайтынын түсініп, қосымша стратегиядан бас тартады. Кері қатынастар үшін ой-тәжірибе жасауға болады. Егер бір айнымалының мәні екі есеге артса, екінші айнымалыға не болады? Егер жауап ½ болса, онда бұл тұрақты көбейтінді қатынасы болуы мүмкін (яғни кері пропорция). Айырмалылардың мәндерін кестеге түсіру екі айнымалының тікелей пропорционалды екенін анықтау үшін пайдалы құрал болуы мүмкін. Егер олар тікелей пропорционалды болса, онда мәндер тура сызықта болуы керек және бұл сызық координаталардың басын кесіп өтуі керек.

In all the experiments noted above there are two variables whose values change based on a fixed relation. Consider the following problem that is similar to the Mr. Tall and Mr. Short problem. Here is a photograph of a father and a daughter. In this picture the daughter is 4 cm high and the father is 6 cm high. They decided to enlarge the picture and in the bigger picture the daughter is 6 cm high. How high is the father in the larger picture? A very common answer for an individual using an additive relation is 8 cm because the father is always 2 cm higher than his daughter. So now ask this student the following question:

Suppose they made a very small version of the original picture and in this small picture the father is 2 cm high. How high will the daughter be in this small picture? The student quickly realizes that the strategy “the father is always 2 cm higher than his daughter” is not correct. This can also be achieved by exploring the other extreme where the original picture is blown up to poster size and the daughter is 100 cm high. How high will the father be in this poster? A student answering 102 cm realizes that the father and daughter are almost the same height which cannot be right. Once cognitive dissonance is present, the teacher can introduce the correct relation, constant ratio. The student can also be encouraged to conduct their own thought experiments, such as “what if the height of the daughter doubles in an enlargement, what will happen to the height of the father?” Most students, including those still at the concrete operational stage, will quickly answer that the father's height must also double. The abstract thought experiment is: “Suppose that one of the variables is doubled in value, how will the other variable change?” If the answer is “double”, then this may be a constant ratio problem. But if the answer is not double, such as for the age problem with Mr. Tall and Mr. Short given above, then it is not a constant ratio problem. For inverse relations, such as the “water triangle”, limiting cases can also introduce cognitive dissonance. For example:

Given the initial conditions with the water level on the left at 4 units and the water level on the right at 6 units, predict what is the water level on the left if the triangle is tilted until the water level on the right is 10 units. Students will abandon the additive strategy at this point realizing that 0 cannot be the correct answer. A thought experiment can be performed for inverse relations. If one variable doubles in value, what happens to the other variable? If the answer is ½ then this might be a constant product relation (that is, an inverse proportion). Plotting the values of variables can also be a valuable tool for identifying whether two variables are directly proportional or not. If they are directly proportional, then the values should be on a straight line and that line should intersect the origin.