Введение

Последовательность гомоморфизмов, такая что ядро каждого гомоморфизма равно изображению предыдущего. Точная последовательность — это последовательность морфизмов между объектами (например, группами, кольцами, модулями и, в более общем смысле, объектами абелевой категории), такая что изображение одного морфизма равно ядру следующего.

Простые случаи

Чтобы понять определение, полезно рассмотреть относительно простые случаи, когда последовательность состоит из гомоморфизмов групп, является конечной и начинается или заканчивается тривиальной группой. Традиционно это, вместе с единичным элементом, обозначается 0 (аддитивная нотация, обычно когда группы абелевы), или обозначается 1 (мультипликативная нотация). Рассмотрим последовательность 0 → A → B. Образ левого отображения равен 0. Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда ядро правого отображения (из A в B) равно {0}; то есть, тогда и только тогда, когда это отображение является мономорфизмом (инъективным, или взаимно однозначным). Рассмотрим двойственную последовательность B → C → 0. Ядро правого отображения — это C. Следовательно, последовательность точна тогда и только тогда, когда образ левого отображения (из B в C) совпадает со всем C; то есть, тогда и только тогда, когда это отображение является эпиморфизмом (сюръективным, или отображающим на). Следовательно, последовательность 0 → X → Y → 0 точна тогда и только тогда, когда отображение из X в Y является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом (то есть биморфизмом), и, следовательно, обычно изоморфизмом из X в Y (это всегда верно в точных категориях, таких как Set).

Применение точных последовательностей

В теории абелевых категорий короткие точные последовательности часто используются как удобный язык для описания подобъектов и фактор-объектов. Проблема расширения по существу заключается в вопросе: "При заданных конечных членах A и C короткой точной последовательности, какие возможности существуют для среднего члена B?". В категории групп это эквивалентно вопросу, какие группы B имеют A в качестве нормальной подгруппы и C в качестве соответствующей фактор-группы? Эта проблема важна для классификации групп. См. также внешняя группа автоморфизмов. Заметьте, что в точной последовательности композиция fi+1 ∘ fi отображает элементы Ai в 0 в Ai+2, следовательно, любая точная последовательность является цепным комплексом. Более того, только образы элементов Ai посредством fi отображаются в 0 посредством fi+1, поэтому гомология этого цепного комплекса тривиальна. Коротко говоря: точные последовательности – это ровно те цепные комплексы, которые ациклические. Таким образом, гомологию любого цепного комплекса можно рассматривать как меру того, насколько он далек от точности. Если мы рассмотрим последовательность коротких точных последовательностей, связанных цепными комплексами (то есть короткую точную последовательность цепных комплексов, или, с другой точки зрения, цепной комплекс коротких точных последовательностей), то из нее можно получить длинную точную последовательность (то есть точную последовательность, индексированную натуральными числами) по гомологии, применяя лемму зигзага. Она возникает в алгебраической топологии при изучении относительной гомологии; последовательность Майера — Виториса является другим примером. Длинные точные последовательности, индуцированные короткими точными последовательностями, также характерны для производных функторов. Точные функторы – это функторы, которые преобразуют точные последовательности в точные последовательности.