Введение

В математике, особенно в гомологической алгебре и других приложениях теории абелевых категорий, лемма о пяти является важной и широко используемой леммой, касающейся коммутативных диаграмм. Лемма о пяти применима не только к абелевым категориям, но и, например, к категории групп. Лемму о пяти можно рассматривать как комбинацию двух других теорем – двойственных друг другу четырех лемм.

Доказательство

Метод доказательства, который мы будем использовать, обычно называется «преследованием диаграмм». Мы докажем пять лемм, последовательно доказывая каждую из двух четырёх лемм. Для проведения преследования диаграмм мы предполагаем, что мы работаем в категории модулей над некоторым кольцом, чтобы можно было говорить об элементах объектов в диаграмме и рассматривать морфизмы диаграммы как функции (фактически, гомоморфизмы), действующие на эти элементы. Тогда морфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда он инъективен, и эпиморфизмом тогда и только тогда, когда он сюръективен. Аналогично, для работы с точностью мы можем рассматривать ядра и образы в смысле теории функций. Доказательство по-прежнему применимо к любой (малой) абелевой категории благодаря теореме о вложении Митчелла, которая утверждает, что любую малую абелеву категорию можно представить как категорию модулей над некоторым кольцом. Для категории групп просто замените все аддитивные обозначения ниже на мультипликативные и обратите внимание, что коммутативность абелевой группы никогда не используется. Итак, чтобы доказать (1), предположим, что *m* и *p* сюръективны, а *q* инъективно. Пусть *c'* — элемент *C'*. Поскольку *p* сюръективно, существует элемент *d* в *D* такой, что *p(d) = t(c')*. По коммутативности диаграммы, *u(p(d)) = q(j(d))*. Поскольку *im t = ker u* по условию точности, то *0 = u(t(c')) = u(p(d)) = q(j(d))*. Поскольку *q* инъективно, *j(d) = 0*, следовательно, *d* принадлежит *ker j = im h*. Таким образом, существует *c* в *C* такой, что *h(c) = d*. Тогда *t(n(c)) = p(h(c)) = t(c')*. Поскольку *t* — гомоморфизм, следует, что *t(c' − n(c)) = 0*. По точности, *c' − n(c)* принадлежит образу *s*, то есть существует *b'* в *B'* такое, что *s(b') = c' − n(c)*. Поскольку *m* сюръективно, мы можем найти *b* в *B* такое, что *b' = m(b)*. По коммутативности, *n(g(b)) = s(m(b)) = c' − n(c)*. Поскольку *n* — гомоморфизм, *n(g(b) + c) = n(g(b)) + n(c) = c' − n(c) + n(c) = c'*. Следовательно, *n* сюръективно. Затем, чтобы доказать (2), предположим, что *m* и *p* инъективны, а *l* сюръективно. Пусть *c* в *C* такое, что *n(c) = 0*. Тогда *t(n(c)) = 0*. По коммутативности, *p(h(c)) = 0*. Поскольку *p* инъективно, *h(c) = 0*. По точности, существует элемент *b* из *B* такой, что *g(b) = c*. По коммутативности, *s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0*. По точности, существует элемент *a'* из *A'* такой, что *r(a') = m(b)*. Поскольку *l* сюръективно, существует *a* в *A* такое, что *1 = l(a) = a'*. По коммутативности, *1 = m(f(a)) = r(l(a)) = m(b)*. Поскольку *m* инъективно, *f(a) = b*. Следовательно, *c = g(f(a))*. Поскольку композиция *g* и *f* тривиальна, *c = 0*. Следовательно, *n* инъективно. Объединение двух четырёх лемм теперь доказывает всю пятую лемму.

Приложения

Пять лемм часто применяются к длинным точным последовательностям: при вычислении гомологии или кохомологии данного объекта обычно используют более простой подобъект, гомология/кохомология которого известна, и получают длинную точную последовательность, включающую неизвестные группы гомологии исходного объекта. Одного этого часто недостаточно для определения неизвестных групп гомологии, но если исходный объект и подобъект можно сравнить с хорошо изученными объектами посредством морфизмов, то индуцируется морфизм между соответствующими длинными точными последовательностями, и тогда пять лемм можно использовать для определения неизвестных групп гомологии.