Целочисленные матрицы в математике: свойства и применения.
Integer matrix
Целочисленные матрицы в математике: определение, примеры (бинарные, единичные, матрицы смежности). Применение в комбинаторике, стабильность инвертирования.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике, целочисленная матрица – это матрица, элементы которой являются целыми числами. Примеры включают двоичные матрицы, нулевую матрицу, матрицу единиц, единичную матрицу и матрицы смежности, используемые в теории графов, и многие другие. Целочисленные матрицы находят частое применение в комбинаторике.
In mathematics, an integer matrix is a matrix whose entries are all integers. Examples include binary matrices, the zero matrix, the matrix of ones, the identity matrix, and the adjacency matrices used in graph theory, amongst many others. Integer matrices find frequent application in combinatorics.
Свойства
Инвертируемость целочисленных матриц, как правило, более численно устойчива, чем инвертируемость нецелочисленных матриц. Определитель целочисленной матрицы сам является целым числом, а присоединенная матрица целочисленной матрицы также является целочисленной матрицей.
Invertibility of integer matrices is in general more numerically stable than that of non integer matrices. The determinant of an integer matrix is itself an integer, and the adj of an integer Matrix is also integer Matrix,
Таким образом, наименьшая возможная по абсолютной величине детерминанта инвертируемой целочисленной матрицы равна единице, следовательно, там, где существуют обратные матрицы, они не становятся чрезмерно большими (см. число обусловленности). Теоремы из теории матриц, выводящие свойства из определителей, таким образом избегают проблем, возникающих при работе с плохо обусловленными (с почти нулевым определителем) матрицами с действительными или вещественными числами с плавающей точкой. Обратная матрица к целочисленной матрице является целочисленной матрицей тогда и только тогда, когда ее определитель равен 1 или -1. Целочисленные матрицы с определителем 1 или -1 образуют группу, которая имеет широкое применение в арифметике и геометрии. Для n=2 она тесно связана с модульной группой. Пересечение целочисленных матриц с ортогональной группой является группой матриц перестановок со знаком. Характерный многочлен целочисленной матрицы имеет целочисленные коэффициенты. Поскольку собственные значения матрицы являются корнями этого многочлена, собственные значения целочисленной матрицы являются алгебраическими целыми числами. В размерностях меньше 5 их можно выразить через радикалы, включающие целые числа. Целочисленные матрицы иногда называют интегральными матрицами, хотя такое употребление не рекомендуется.
thus the numerically smallest possible magnitude of the determinant of an invertible integer matrix is one, hence where inverses exist they do not become excessively large (see condition number). Theorems from matrix theory that infer properties from determinants thus avoid the traps induced by ill conditioned (nearly zero determinant) real or floating point valued matrices. The inverse of an integer matrix is again an integer matrix if and only if the determinant of equals or Integer matrices of determinant form the group , which has far reaching applications in arithmetic and geometry. For , it is closely related to the modular group. The intersection of the integer matrices with the orthogonal group is the group of signed permutation matrices. The characteristic polynomial of an integer matrix has integer coefficients. Since the eigenvalues of a matrix are the roots of this polynomial, the eigenvalues of an integer matrix are algebraic integers. In dimension less than 5, they can thus be expressed by radicals involving integers. Integer matrices are sometimes called integral matrices, although this use is discouraged.