Введение

Экономическая теорема

Теорема Сонненшайна — Мантеля — Дебре — важный результат в экономике общего равновесия, доказанный Жераром Дебреу, Рольфом Мантелем и Хьюго Ф. Сонненшайном в 1970-х годах. Она утверждает, что кривая избыточного спроса для экономики обмена, состоящей из рациональных агентов, максимизирующих полезность, может иметь вид любой непрерывной функции с нулевой степенью однородности, удовлетворяющей закону Уолраса. Это подразумевает, что функция избыточного спроса не обязательно принимает благопристойную форму, даже если функция полезности каждого агента благопристойна. Рыночные процессы не обязательно приводят к единственной и стабильной точке равновесия. В последнее время Жорди Андреу, Пьер Андре Чьяппори и Ивар Экеланд распространили этот результат на кривые рыночного спроса, как для отдельных товаров, так и для совокупного спроса экономики в целом. Это означает, что кривые спроса могут принимать весьма нерегулярную форму, даже если все отдельные агенты на рынке абсолютно рациональны. В отличие от общепринятых предположений, величина спроса на товар может не уменьшаться при увеличении цены. Фрэнк Хан рассматривал эту теорему как опасную критику общепринятой неоклассической экономики.

Официальное заявление

Есть несколько возможных версий теоремы, различающихся детальными ограничениями и предположениями. Приведённая ниже версия сформулирована в модели экономики Арроу-Дебрё. Обозначения см. на странице, посвящённой модели Арроу-Дебрё. Аналогично, заменяя функцию на множественнозначную замкнутую функцию графа, мы получаем другую.

Дальнейшее развитие событий

Вслед за этими первоначальными публикациями несколько исследователей расширили первоначальные результаты Sonnenschein–Mantel–Debreu различными способами. В статье 1976 года Рольф Мантель показал, что теорема остаётся верной, даже если добавить очень сильное предположение о том, что все потребители имеют гомотетические предпочтения. Это означает, что полезность, которую потребители приписывают товару, всегда будет точно пропорциональна количеству предлагаемого товара; например, один миллион апельсинов будет оценен ровно в один миллион раз дороже, чем один апельсин. Более того, Алан Кирман и Карл Йозеф Кох доказали в 1986 году, что теорема SMD остаётся верной, даже если предположить, что все агенты имеют идентичные предпочтения, а распределение доходов считается фиксированным во времени и независимым от цен. Единственное недопустимое распределение доходов – равномерное, при котором все индивидуумы имеют одинаковый доход и, следовательно, поскольку их предпочтения одинаковы, они все идентичны. Долгое время оставалось неясным, применимы ли результаты в стиле SMD также к самой кривой рыночного спроса, а не только к кривой избыточного спроса. Однако в 1982 году Джорди Андреу получил важный предварительный результат, указывающий на то, что это действительно так, а в 1999 году Пьер Андре Чьяппори и Ивар Экеланд использовали векторное исчисление, чтобы доказать, что результаты Sonnenschein–Mantel–Debreu действительно применимы к кривой рыночного спроса. Это означает, что кривые рыночного спроса могут принимать весьма нерегулярные формы, сильно отличающиеся от учебных моделей, даже если все отдельные агенты на рынке абсолютно рациональны.

Пояснение

В математическом выражении число уравнений, составляющих рыночную функцию избыточного спроса, равно числу индивидуальных функций избыточного спроса, которое, в свою очередь, равно числу цен, подлежащих определению. Согласно закону Уолраса, если все избыточные спросы, кроме одного, равны нулю, то последний также должен быть равен нулю. Это означает, что существует одно избыточное уравнение, и мы можем нормализовать одну из цен или комбинацию всех цен (иными словами, определяются только относительные цены, а не абсолютный уровень цен). После этого число уравнений становится равным числу неизвестных, и мы получаем однозначно определяемую систему. Однако, поскольку уравнения нелинейны, нет гарантии единственности решения. Более того, хотя разумные предположения могут гарантировать, что отдельные функции избыточного спроса имеют единственный корень, эти предположения не гарантируют наличия единственного корня и у совокупного спроса. Следует отметить несколько моментов. Во-первых, даже если существует несколько равновесий, каждое из них, при стандартных предположениях, гарантированно является парето-эффективным. Однако различные равновесия, вероятно, будут иметь различные последствия для распределения и могут по-разному оцениваться любой функцией общественного благосостояния. Во-вторых, согласно теореме о индексе Хопфа, в регулярных экономиках число равновесий будет конечным, и все они будут локально единственными. Это означает, что сравнительная статика, или анализ изменения равновесия при воздействии шоков на экономику, все еще может быть актуальна, если шоки не слишком велики. Однако это не дает ответа на вопрос о стабильности равновесия, поскольку сравнительно-статический подход не позволяет понять, что происходит, когда рынок отклоняется от равновесия.

Расширение на неполные рынки

Расширение на неполные рынки было впервые высказано Андреу Мас-Колеллом в 1986 году. Для этого он отмечает, что закон Уолраса и однородность нулевой степени можно интерпретировать как то, что избыточный спрос зависит исключительно от самого множества бюджетов. Таким образом, однородность лишь указывает на то, что избыточный спрос будет одинаковым при одинаковых множествах бюджетов. Эта формулировка применима и к неполным рынкам. То же самое относится и к закону Уолраса, если рассматривать его как бюджетную реализуемость функции избыточного спроса. Первые результаты в духе Sonnenschein–Mantel–Debreu были получены Жаном-Марком Боттацци и Торстеном Хенсом. Другие работы расширили спектр активов, выйдя за рамки распространенных структур реальных активов, например, в работах Чиаппори и Экланд. Все эти результаты являются локальными. В 2003 году Такеши Моми обобщил подход Боттацци и Хенса, получив глобальный результат.