Теорема об укрощении трёхмерных гиперболических многообразий
Tameness theorem
Теорема о приручаемости в математике: полные гиперболические 3-многообразия с конечно порожденной фундаментальной группой топологически приручаемы. Доказательство, свойства и следствия.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике теорема об укрощении гласит, что каждое полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой является топологически укрощаемым, иными словами, гомеоморфно внутренней части компактного 3-многообразия. Теорема об укрощении была предсказана и доказана независимо друг от друга Дэнни Калегари и Дэвидом Габаи. Это одно из фундаментальных свойств геометрически бесконечных гиперболических 3-многообразий, наряду с теоремой о плотности для групп Клейна и теоремой об оконечном ламинировании. Она также подразумевает гипотезу об альфорсовской мере.
In mathematics, the tameness theorem states that every complete hyperbolic 3 manifold with finitely generated fundamental group is topologically tame, in other words homeomorphic to the interior of a compact 3 manifold. The tameness theorem was conjectured by It was proved by and, independently, by Danny Calegari and David Gabai. It is one of the fundamental properties of geometrically infinite hyperbolic 3 manifolds, together with the density theorem for Kleinian groups and the ending lamination theorem. It also implies the Ahlfors measure conjecture.
История
Топологическую прирученность можно рассматривать как свойство концов многообразия, а именно, наличие локальной структуры произведения. Аналогичное утверждение хорошо известно в двух измерениях, то есть для поверхностей. Однако, как показывает пример сферы Александра с рогами, существуют дикие вложения среди 3-многообразий, поэтому это свойство не является автоматическим. Предположение было сформулировано в виде вопроса Альбертом Марденом, который доказал, что любое геометрически конечное гиперболическое 3-многообразие топологически приручено. Это предположение также называлось предположением Мардена или предположением о прирученных концах. До доказательства этого предположения в понимании прирученности был достигнут устойчивый прогресс. Частичные результаты были получены Терстоном, Броком, Бромбергом, Канари, Эвансом, Минским, Ошикой. Важное достаточное условие для прирученности, выраженное через расщепления фундаментальной группы, было получено Бонахоном. Предположение было доказано в 2004 году Яном Аголом и независимо Дэнни Калегари и Дэвидом Габаи. Доказательство Агола опирается на использование многообразий с защемленной отрицательной кривизной и на трюк Канари, называемый "дискообразованием", который позволяет заменить сжимаемый конец на несжимаемый, для которого предположение уже было доказано. Доказательство Калегари–Габаи основано на существовании определенных замкнутых поверхностей с неотрицательной кривизной, которые они называют "обернутыми".
Topological tameness may be viewed as a property of the ends of the manifold, namely, having a local product structure. An analogous statement is well known in two dimensions, that is, for surfaces. However, as the example of Alexander horned sphere shows, there are wild embeddings among 3 manifolds, so this property is not automatic. The conjecture was raised in the form of a question by Albert Marden, who proved that any geometrically finite hyperbolic 3 manifold is topologically tame. The conjecture was also called the Marden conjecture or the tame ends conjecture. There had been steady progress in understanding tameness before the conjecture was resolved. Partial results had been obtained by Thurston, Brock, Bromberg, Canary, Evans, Minsky, Ohshika. An important sufficient condition for tameness in terms of splittings of the fundamental group had been obtained by Bonahon. The conjecture was proved in 2004 by Ian Agol, and independently, by Danny Calegari and David Gabai. Agol's proof relies on the use of manifolds of pinched negative curvature and on Canary's trick of "diskbusting" that allows to replace a compressible end with an incompressible end, for which the conjecture has already been proved. The Calegari–Gabai proof is centered on the existence of certain closed, non positively curved surfaces that they call "shrinkwrapped".