Модель Рамси — Касса — Купманса: Неоклассическая модель экономического роста.

Введение

Неоклассическая экономическая модель

Модель Рамси–Касса–Купманса, или модель роста Рамси, является неоклассической моделью экономического роста, основанной преимущественно на работах Фрэнка П. Рамси с существенными дополнениями Дэвида Касса и Тьяллинга Купманса. Модель Рамси–Касса–Купманса отличается от модели Солоу–Свана тем, что выбор потребления явно обоснован микроэкономически в каждый момент времени, что эндогенизирует норму сбережений. В результате, в отличие от модели Солоу–Свана, норма сбережений может изменяться в процессе перехода к долгосрочному устойчивому состоянию. Другим следствием модели является то, что достигаемый результат является парето-оптимальным или парето-эффективным. Изначально Рамси представил модель как задачу социального планировщика по максимизации уровней потребления в течение последовательных поколений. Позднее Касс и Купманс адаптировали модель для описания децентрализованной динамической экономики с репрезентативным агентом. Модель Рамси–Касса–Купманса направлена исключительно на объяснение долгосрочного экономического роста, а не на колебания экономического цикла, и не учитывает источники возмущений, такие как несовершенства рынка, неоднородность домохозяйств или экзогенные шоки. Последующие исследователи расширили модель, включив в нее шоки государственных закупок, изменения в занятости и другие источники возмущений, что получило название теории реального делового цикла.

Настройка модели

В обычной постановке время непрерывно, начиная, для простоты, с 0 и продолжаясь бесконечно. По предположению, единственными производственными факторами являются капитал *K* и труд *L*, оба из которых должны быть неотрицательными. Рабочая сила, составляющая все население, предположительно растет с постоянной скоростью *n*, т.е. *L(t) = L(0)e^(nt)*, где *L(0)* – начальный уровень. Наконец, пусть *Y* обозначает совокупное производство, а *C* – совокупное потребление. Переменными, которые модель Рамси–Касса–Купманса стремится описать, являются *c = C/L* – потребление на душу населения (или, точнее, на единицу труда), а также *k = K/L* – так называемая капиталоемкость. Это достигается путем установления связи между накоплением капитала, записанным в нотации Ньютона как *dk/dt*, и потреблением, описывающей компромисс между потреблением и инвестициями. В частности, поскольку существующий запас капитала уменьшается со скоростью амортизации *δ* (предполагается постоянной), для его поддержания требуются инвестиции в объеме текущего производственного выпуска. Таким образом,

Взаимосвязь между производственными факторами и совокупным выпуском описывается функцией совокупного производства *Y = F(K, L)*. Распространенным выбором является функция Кобба–Дугласа *Y = A*K^α*L^(1-α)*, но в целом допустима любая производственная функция, удовлетворяющая условиям Инады. Важно, однако, чтобы *F(K, L)* была однородной функцией первой степени, что экономически подразумевает постоянную отдачу от масштаба. При этом предположении мы можем выразить совокупный выпуск в терминах на душу населения: *y = Y/L = F(k, 1) = f(k)*. Например, если мы используем функцию Кобба–Дугласа с *α*, то *y = A*k^α*.

Для получения первого ключевого уравнения модели Рамси–Касса–Купманса необходимо выразить динамическое уравнение для капитального запаса в терминах на душу населения. Учитывая правило частного для *k = K/L*, получаем

нелинейное дифференциальное уравнение, аналогичное модели Солоу–Суэна.

История

Спир и Янг вновь рассматривают историю оптимального роста в 1950-х и 1960-х годах, сосредотачиваясь, в частности, на достоверности заявленного одновременного и независимого развития работы Касса «Оптимальный рост в агрегирующей модели накопления капитала» (опубликованной в 1965 году в Review of Economic Studies) и работы Тьяллинга Купманса «О концепции оптимального экономического роста» (опубликованной в сборнике материалов Study Week on the Econometric Approach to Development Planning, 1965 г., Рим: Папская академия наук). На протяжении жизни ни Касс, ни Купманс никогда не предполагали, что их результаты, характеризующие оптимальный рост в односекторной модели с непрерывным временем, были чем-то иным, чем «одновременными и независимыми». Тот факт, что вопрос о приоритете когда-либо стал предметом обсуждения, был обусловлен лишь тем, что в опубликованной версии работы Купманса он ссылается на главу из диссертации Касса, которая впоследствии стала статьей в Review of Economic Studies. В своей статье Купманс в сноске отмечает, что Касс независимо получил условия, аналогичные найденным Купмансом, и что Касс также рассматривает предельный случай, когда ставка дисконтирования в его работе стремится к нулю. Со своей стороны, Касс отмечает, что «после завершения первоначальной версии этой статьи, очень похожий анализ Купманса привлек наше внимание. Мы используем его результаты при обсуждении предельного случая, когда эффективная социальная ставка дисконтирования стремится к нулю». В интервью, данном журналу Macroeconomic Dynamics, Касс признает, что Купманс указал ему на более ранние работы Фрэнка Рамси, выражая смущение из-за того, что не знал об этом, но не опровергает основного утверждения о независимости их работ. Спир и Янг оспаривают эту историю, основываясь на ранее не замеченной рабочей версии статьи Купманса, которая послужила основой для его часто цитируемого доклада на конференции, организованной Папской академией наук в октябре 1963 года. В этой статье Cowles Discussion paper содержится ошибка. Купманс утверждает в своем основном результате, что уравнения Эйлера одновременно необходимы и достаточны для характеристики оптимальных траекторий в модели, поскольку любые решения уравнений Эйлера, не сходящиеся к оптимальному устойчивому состоянию, достигнут либо нулевого потребления, либо нулевого капитала за конечное время. Эта ошибка, по-видимому, была представлена на конференции в Ватикане, однако во время ее представления никто из участников не обратил на нее внимания. Это можно заключить, поскольку обсуждение после каждого доклада на конференции в Ватикане сохранилось дословно в сборнике материалов конференции. В ватиканском обсуждении после доклада Эдмонда Малинво проблема возникает из-за явного включения им так называемого «условия трансверсальности» (которое Малинво называет условием I) в его работу. В конце доклада Купманс спрашивает Малинво, не гарантирует ли условие I просто, что решения уравнений Эйлера, не сходящиеся к оптимальному устойчивому состоянию, достигают границы за конечное время. Малинво отвечает, что это не так, и предлагает Купмансу рассмотреть пример с логарифмической функцией полезности и производственной функцией Кобба-Дугласа. В этот момент Купманс, очевидно, осознает наличие проблемы, но, основываясь на запутанном приложении к более поздней версии статьи, подготовленной после конференции в Ватикане, он, по-видимому, не может решить, как поступить с проблемой, поднятой условием Малинво. Из интервью с Кассом в Macroeconomic Dynamics ясно, что Купманс встретился с научным руководителем Касса, Хирофуми Узавой, на зимнем собрании Эконометрического общества в январе 1964 года, где Узава сообщил ему, что его студент [Касс] уже решил эту проблему. Узава, вероятно, предоставил Купмансу копию главы диссертации Касса, которую он, по-видимому, отправил под видом технического отчета IMSSS, на который Купманс ссылается в опубликованной версии своей статьи. Слово «под видом» здесь уместно, поскольку номер TR, указанный в цитате Купманса, относил дату выпуска отчета к началу 1950-х годов, что явно не соответствовало действительности. В опубликованной версии статьи Купманса он в дополнение к уравнениям Эйлера накладывает новое условие Альфа, утверждая, что единственной допустимой траекторией среди удовлетворяющих уравнениям Эйлера является траектория, сходящаяся к оптимальному равновесию устойчивого состояния модели. Этот результат получен в работе Касса путем наложения условия трансверсальности, которое Касс вывел из соответствующих разделов книги Льва Понтрягина. Спир и Янг предполагают, что Купманс пошел этим путем, поскольку не хотел казаться «заимствующим» ни у Малинво, ни у Касса технологию трансверсальности. Основываясь на этом и других исследованиях вклада Малинво в 1950-е годы — в частности, его интуитивного понимания важности условия трансверсальности — Спир и Янг предполагают, что неоклассическую модель роста, возможно, лучше называть моделью Рамси — Малинво — Касса, чем общепринятой моделью Рамси — Касса — Купманса.

Spear and Young re examine the history of optimal growth during the 1950s and 1960s, focusing in part on the veracity of the claimed simultaneous and independent development of Cass' "Optimum growth in an aggregative model of capital accumulation" (published in 1965 in the Review of Economic Studies), and Tjalling Koopman's "On the concept of optimal economic growth" (published in Study Week on the Econometric Approach to Development Planning, 1965, Rome: Pontifical Academy of Science). Over their lifetimes, neither Cass nor Koopmans ever suggested that their results characterizing optimal growth in the one sector, continuous time growth model were anything other than "simultaneous and independent". That the issue of priority ever became a discussion point was due only to the fact that in the published version of Koopmans' work, he cited the chapter from Cass' thesis that later became the RES paper. In his paper, Koopmans states in a footnote that Cass independently obtained conditions similar to what Koopmans finds, and that Cass also considers the limiting case where the discount rate goes to zero in his paper. For his part, Cass notes that "after the original version of this paper was completed, a very similar analysis by Koopmans came to our attention. We draw on his results in discussing the limiting case, where the effective social discount rate goes to zero". In the interview that Cass gave to Macroeconomic Dynamics, he credits Koopmans with pointing him to Frank Ramsey's previous work, claiming to have been embarrassed not to have known of it, but says nothing to dispel the basic claim that his work and Koopmans' were in fact independent. Spear and Young dispute this history, based upon a previously overlooked working paper version of Koopmans' paper, which was the basis for Koopmans' oft cited presentation at a conference held by the Pontifical Academy of Sciences in October 1963. In this Cowles Discussion paper, there is an error. Koopmans claims in his main result that the Euler equations are both necessary and sufficient to characterize optimal trajectories in the model because any solutions to the Euler equations which do not converge to the optimal steady state would hit either a zero consumption or zero capital boundary in finite time. This error was apparently presented at the Vatican conference, although at the time of Koopmans' presenting it, no participant commented on the problem. This can be inferred because the discussion after each paper presentation at the Vatican conference is preserved verbatim in the conference volume. In the Vatican volume discussion following the presentation of a paper by Edmond Malinvaud, the issue does arise because of Malinvaud's explicit inclusion of a so called "transversality condition" (which Malinvaud calls Condition I) in his paper. At the end of the presentation, Koopmans asks Malinvaud whether it is not the case that Condition I simply guarantees that solutions to the Euler equations that do not converge to the optimal steady state hit a boundary in finite time. Malinvaud replies that this is not the case, and suggests that Koopmans look at the example with log utility functions and Cobb Douglas production functions. At this point, Koopmans obviously recognizes he has a problem, but, based on a confusing appendix to a later version of the paper produced after the Vatican conference, he seems unable to decide how to deal with the issue raised by Malinvaud's Condition I. From the Macroeconomic Dynamics interview with Cass, it is clear that Koopmans met with Cass' thesis advisor, Hirofumi Uzawa, at the winter meetings of the Econometric Society in January 1964, where Uzawa advised him that his student [Cass] had solved this problem already. Uzawa must have then provided Koopmans with the copy of Cass' thesis chapter, which he apparently sent along in the guise of the IMSSS Technical Report that Koopmans cited in the published version of his paper. The word "guise" is appropriate here, because the TR number listed in Koopmans' citation would have put the issue date of the report in the early 1950s, which it clearly was not. In the published version of Koopmans' paper, he imposes a new Condition Alpha in addition to the Euler equations, stating that the only admissible trajectories among those satisfying the Euler equations is the one that converges to the optimal steady state equilibrium of the model. This result is derived in Cass' paper via the imposition of a transversality condition that Cass deduced from relevant sections of a book by Lev Pontryagin. Spear and Young conjecture that Koopmans took this route because he did not want to appear to be "borrowing" either Malinvaud's or Cass' transversality technology. Based on this and other examination of Malinvaud's contributions in 1950s—specifically his intuition of the importance of the transversality condition—Spear and Young suggest that the neo classical growth model might better be called the Ramsey–Malinvaud–Cass model than the established Ramsey–Cass–Koopmans honorific.