Рамсей-Касс-Купманс моделі: неоклассикалық экономикалық өсу теориясы

Кіріспе

Неоклассикалық экономикалық модель

Рамзи-Касс-Купманс моделі, немесе Рамзидің өсу моделі – Франк П. Рамзидің еңбектеріне негізделген экономикалық өсудің неоклассикалық моделі, және Дэвид Кесс пен Тжаллинг Купманс оған маңызды толықтырулар енгізген. Рамзи-Касс-Купманс моделі Солоу-Сван моделінен тұтыну таңдауы белгілі бір уақытта нақты микронегіздемеге ие болып, үнемдеу деңгейін ішкі фактор ретінде анықтауымен ерекшеленеді. Осының салдарынан, Солоу-Сван моделінен айырмашылығы, үнемдеу деңгейі ұзақ мерзімді тұрақты жағдайға көшу кезеңінде өзгеріп отыруы мүмкін. Модельдің тағы бір маңызды тұсы – нәтиже Парето оптималды немесе Парето тиімді болады. Рамзи бастапқыда модельді әлеуметтік жоспарлаушының келесі ұрпақтар үшін тұтыну деңгейін барынша арттыру мәселесі ретінде қарастырды. Кейін Касс пен Купманс бұл модельді өкілдік агенті бар орталықтандырылмаған динамикалық экономиканың сипаттамасы ретінде қабылдады. Рамзи-Касс-Купманс моделінің мақсаты – бизнес айналымдағы құбылыстарды емес, ұзақ мерзімді экономикалық өсуді түсіндіру, және ол нарықтың жетілмеуі, шаруашылықтар арасындағы айырмашылықтар немесе сыртқы шоктар сияқты бұзылулардың көздерін қамтымайды. Кейінгі зерттеушілер модельді кеңейтіп, мемлекеттік сатып алулар шоктарына, жұмыспен қамтудағы өзгерістерге және басқа да бұзылулар көздеріне мүмкіндік берді, бұл нақты бизнес айналым теориясы деп аталады.

Үлгілік орнату

Әдеттегі жағдайда уақыт үздіксіз, қарапайымдылық үшін, 0-ден басталып, шексіздікке дейін жалғасады. Болжам бойынша, жалғыз өндірістік факторлар – капитал (К) және еңбек (L), екеуі де теріс емес болуы керек. Жұмыс күші, барлық халықты құрайды, тұрақты жылдамдықпен (n) өседі деп есептеледі, яғни L(t) = L(0)e^(nt), мұнда L(0) – бастапқы деңгей. Сонымен қатар, Y жиынтық өндірісті, ал C жиынтық тұтынуды білдіреді. Рамси-Касс-Купманс моделінің мақсаты – адам басына шаққандағы (немесе дәлірек айтқанда, еңбекке шаққандағы) тұтыну (c = C/L) және капиталдың қарқындылығы (k = K/L) сияқты айнымалыларды сипаттау. Ол бұл мақсатқа капитал жинақталуын (Newton белгісімен жазылған, Δk) тұтынумен байланыстырып, тұтыну мен инвестиция арасындағы қарым-қатынасты көрсете отырып жетеді. Атап айтқанда, қолданыстағы капитал қорлары амортизация жылдамдығымен (δ) тозатынын ескерсек (δ тұрақты деп есептеледі), ағымдағы кезеңнің өндірістік өнімінің инвестициялары қажет болады. Осылайша,

Өндірістік факторлар мен жиынтық өнім арасындағы байланыс жиынтық өндірістік функциямен (Y = F(K, L)) сипатталады. Көп қолданылатыны – Кобб-Дуглас өндірістік функциясы (Y = A*K^α*L^(1-α)), бірақ Инада шартын қанағаттандыратын кез келген өндірістік функция қолданылуы мүмкін. Бірақ, маңыздысы, F(K, L) 1-дәрежелі біртекті болуы керек, бұл экономикалық тұрғыдан масштабқа тұрақты қайтаруды білдіреді. Осы болжаммен, жиынтық өнімді жан басына шаққанда қайта жазуға болады: y = Y/L = f(k, n). Мысалы, егер біз Кобб-Дуглас өндірістік функциясын пайдалансақ, онда y = A*k^α.

Рамси-Касс-Купманс моделінің бірінші негізгі теңдеуін алу үшін капитал қорының динамикалық теңдеуін жан басына шаққанда көрсету қажет. Үлестік ережені ескерсек, бізде:

Солоу-Сван моделіне ұқсас сызықтық емес дифференциалдық теңдеу пайда болады.

Тарих

Спир мен Янг 1950-1960 жылдардағы оңтайлы өсу тарихын қайта қарастырып, Кастың "Капиталды жинақтаудың жиынтық моделіне оңтайлы өсу" (Экономикалық зерттеулер шоғырында 1965 жылы жарияланған) және Тжаллинг Купманның "Оңтайлы экономикалық өсу туралы" (Өндірісті жоспарлауға эконометриялық тәсіл туралы зерттеу апталығында, 1965 жылы Римде: Рим ғылым академиясы) бірдей уақытта және тәуелсіз дамығаны туралы мәлімдеменің растығына назар аударды. Касс пен Купманс өмір бойы бір секторлық, үздіксіз уақыт өсу моделіндегі оңтайлы өсуді сипаттайтын нәтижелерінің "бір мезгілде және тәуелсіз" болғанын айтқан. Басымдық мәселесі талқылау тақырыбына айналған себебі, Купманның еңбегінің жарияланған нұсқасында ол Кастың диссертациясынан, кейіннен Экономикалық зерттеулер шоғырында жарияланған мақаласынан үзінді келтірген. Купманс өз мақаласында Касс тәуелсіз түрде Купманс тапқан сияқты жағдайларды тапқанын және Касс дисконттық ставка нөлге жақындағандағы шекті жағдайды да қарастырғанын айтады. Касс болса: "Бұл мақаланың бастапқы нұсқасы аяқталғаннан кейін, Купманстың өте ұқсас талдауы біздің назарымызға түсті. Біз оның нәтижелерін шектейтін жағдайды талқылауда пайдаланамыз, онда тиімді әлеуметтік дисконттық мөлшерлеме нөлге жақындайды", – дейді. Макроэкономикалық динамика журналына берген сұхбатында Касс Купмансты Франк Рамзидің бұрынғы жұмысына бағыттағанын айтады, оны бұл жұмыспен таныс болмағаны үшін ұялғанын білдіреді, бірақ оның жұмысы мен Купманстың жұмысы тәуелсіз болғаны туралы негізгі мәлімдемені жоққа шығармайды. Спир мен Янг бұл тарихты күмәнмен қарастырады, себебі бұрын ескерілмеген Купманстың жұмыс қағазының нұсқасы бар, ол 1963 жылдың қазан айында Рим папасы ғылым академиясы өткізген конференциядағы Купманстың жиі сілтеме жасайтын баяндамасының негізі болды. Бұл Коулс талқылау қағазында қате бар. Купманс өзінің негізгі нәтижесінде Эйлер теңдеулері модельдегі оңтайлы траекторияларды сипаттау үшін қажетті де, жеткілікті де дейді, өйткені Эйлер теңдеулерінің оңтайлы тұрақты күйге түспейтін кез келген шешімдері шекті уақытта нөлдік тұтынуға немесе нөлдік капитал шекарасына ұшырайды. Бұл қателік Ватикан конференциясында талқыланған, бірақ Купманс оны ұсынған кезде қатысушылардың ешқайсысы бұл мәселеге қатысты пікір білдірмеген. Бұл туралы Ватикан конференциясындағы әрбір баяндамадан кейінгі талқылаудың конференция томында сөзбе-сөз сақталғанынан тұжырым жасауға болады. Эдмонд Малинвоның мақаласын ұсынғаннан кейін Ватикан томындағы талқылауда бұл мәселе Малинвоның өз мақаласында "көлденеңдік шарты" деп аталатын (Малинво I шарты деп атайды) нақты енгізуіне байланысты туындайды. Баяндаманың соңында Купманс Малинводан I шарт Эйлер теңдеулерінің оңтайлы тұрақты күйге түспейтін шешімдерінің шекті уақыт аралығында шекараға жетуін кепілдей ме деп сұрайды. Малинво бұл жағдай емес деп жауап береді және Купмансқа логикалық пайдалы функциялар мен Кобб-Дуглас өндірістік функцияларымен мысал қарастыруды ұсынады. Бұл кезде Купманс өзінің проблемасы бар екенін мойындайды, бірақ Ватикан конференциясынан кейін шығарылған қағаздың кейінгі нұсқасына сүйене отырып, Малинвоның I шартымен көтерілген мәселеге қалай қарауға болатынын шеше алмайтындай көрінеді. Макроэкономикалық динамика журналына берген сұхбатында Касс Купманстың Кастың диссертациялық кеңесшісі Хирофуми Узавамен 1964 жылдың қаңтар айында Эконометриялық қоғамның қысқы кездесулерінде кездескенін айтады, онда Узава оған өзінің студенті [Касс] бұл мәселені шешкенін айтқан. Узава кейін Купмансқа Кастың диссертациялық тарауының көшірмесін берген болуы керек, оны ол Купманс өз қағазының жарияланған нұсқасында сілтеме жасайтын IMSSS техникалық баяндамасы түрінде жіберген. Бұл жерде "қаптама" сөзі орынды, өйткені Купманстың сілтемесінде көрсетілген TR нөмірі баяндаманың шығарылу күнін 1950 жылдардың басына қоятын, бұл анық емес еді. Купманстың қағазының жарияланған нұсқасында ол Эйлер теңдеулеріне қосымша жаңа Альфа шартын енгізеді, Эйлер теңдеулерін қанағаттандыратын траекториялардың арасында ең қолайлы траекториялар модельдің оңтайлы тұрақты күйдегі тепе-теңдігіне түсетін траекториялар ғана екенін айтады. Бұл нәтиже Касс қағазында Касс Лев Понтрягиннің кітабының тиісті бөлімдерінен шығарған көлденеңдік шартын қолдану арқылы алынған. Спир мен Янг Купманс бұл бағытты таңдады, өйткені ол Малинвоның немесе Кастың көлденеңдік технологиясын "қарызға алған" сияқты көрінбегісі келді. Бұл және Малинвоның 1950 жылдардағы басқа да еңбектерін қарастыру нәтижесінде, әсіресе көлденеңдік шартының маңыздылығы туралы оның түйсігі, Спир мен Янг неоклассикалық өсу моделін Рамсей–Малинво–Касс моделі деп атау ұсынылады, емес, қалыптасқан Рамсей–Касс–Купманс атауы.

Spear and Young re examine the history of optimal growth during the 1950s and 1960s, focusing in part on the veracity of the claimed simultaneous and independent development of Cass' "Optimum growth in an aggregative model of capital accumulation" (published in 1965 in the Review of Economic Studies), and Tjalling Koopman's "On the concept of optimal economic growth" (published in Study Week on the Econometric Approach to Development Planning, 1965, Rome: Pontifical Academy of Science). Over their lifetimes, neither Cass nor Koopmans ever suggested that their results characterizing optimal growth in the one sector, continuous time growth model were anything other than "simultaneous and independent". That the issue of priority ever became a discussion point was due only to the fact that in the published version of Koopmans' work, he cited the chapter from Cass' thesis that later became the RES paper. In his paper, Koopmans states in a footnote that Cass independently obtained conditions similar to what Koopmans finds, and that Cass also considers the limiting case where the discount rate goes to zero in his paper. For his part, Cass notes that "after the original version of this paper was completed, a very similar analysis by Koopmans came to our attention. We draw on his results in discussing the limiting case, where the effective social discount rate goes to zero". In the interview that Cass gave to Macroeconomic Dynamics, he credits Koopmans with pointing him to Frank Ramsey's previous work, claiming to have been embarrassed not to have known of it, but says nothing to dispel the basic claim that his work and Koopmans' were in fact independent. Spear and Young dispute this history, based upon a previously overlooked working paper version of Koopmans' paper, which was the basis for Koopmans' oft cited presentation at a conference held by the Pontifical Academy of Sciences in October 1963. In this Cowles Discussion paper, there is an error. Koopmans claims in his main result that the Euler equations are both necessary and sufficient to characterize optimal trajectories in the model because any solutions to the Euler equations which do not converge to the optimal steady state would hit either a zero consumption or zero capital boundary in finite time. This error was apparently presented at the Vatican conference, although at the time of Koopmans' presenting it, no participant commented on the problem. This can be inferred because the discussion after each paper presentation at the Vatican conference is preserved verbatim in the conference volume. In the Vatican volume discussion following the presentation of a paper by Edmond Malinvaud, the issue does arise because of Malinvaud's explicit inclusion of a so called "transversality condition" (which Malinvaud calls Condition I) in his paper. At the end of the presentation, Koopmans asks Malinvaud whether it is not the case that Condition I simply guarantees that solutions to the Euler equations that do not converge to the optimal steady state hit a boundary in finite time. Malinvaud replies that this is not the case, and suggests that Koopmans look at the example with log utility functions and Cobb Douglas production functions. At this point, Koopmans obviously recognizes he has a problem, but, based on a confusing appendix to a later version of the paper produced after the Vatican conference, he seems unable to decide how to deal with the issue raised by Malinvaud's Condition I. From the Macroeconomic Dynamics interview with Cass, it is clear that Koopmans met with Cass' thesis advisor, Hirofumi Uzawa, at the winter meetings of the Econometric Society in January 1964, where Uzawa advised him that his student [Cass] had solved this problem already. Uzawa must have then provided Koopmans with the copy of Cass' thesis chapter, which he apparently sent along in the guise of the IMSSS Technical Report that Koopmans cited in the published version of his paper. The word "guise" is appropriate here, because the TR number listed in Koopmans' citation would have put the issue date of the report in the early 1950s, which it clearly was not. In the published version of Koopmans' paper, he imposes a new Condition Alpha in addition to the Euler equations, stating that the only admissible trajectories among those satisfying the Euler equations is the one that converges to the optimal steady state equilibrium of the model. This result is derived in Cass' paper via the imposition of a transversality condition that Cass deduced from relevant sections of a book by Lev Pontryagin. Spear and Young conjecture that Koopmans took this route because he did not want to appear to be "borrowing" either Malinvaud's or Cass' transversality technology. Based on this and other examination of Malinvaud's contributions in 1950s—specifically his intuition of the importance of the transversality condition—Spear and Young suggest that the neo classical growth model might better be called the Ramsey–Malinvaud–Cass model than the established Ramsey–Cass–Koopmans honorific.