Введение

В математике теория Клиффорда, введенная в практику в 1868 году, описывает связь между представлениями группы и представлениями нормальной подгруппы.

Альфред Х. Клиффорд

Альфред Х. Клиффорд доказал следующий результат по ограничению конечных размерных неснижаемых представлений от группы G до нормальной подгруппы N конечного индекса:

Доказательство теоремы Клиффорда

Доказательство теоремы Клиффорда лучше всего объясняется с точки зрения модулей (а теоретическая версия модуля работает для неснижаемых модульных представлений). Пусть K - поле, V - необратимый модуль K[G], VN - его ограничение на N и U - необратимый подмодуль K[N] VN. Для каждого g в G и n в N, равенство имеет место, так как N была нормальной подгруппой G. Поэтому g. U является необратимым K[N] подмодулем VN, и является K[G] подмодулем V, следовательно, должно быть все V необратимостью. Теперь ВН выражается как сумма необратимых подмодулей, и это выражение может быть уточнено до прямой суммы. Доказательство теоретического утверждения теоремы о знаках теперь может быть завершено в случае K = C. Пусть χ будет знаком G, предоставленным V, а μ будет знаком N, предоставленным U. Для каждого g в G, C[N] подмодуль g. U дает знак μ(g) и соответствующие равенства следуют, потому что χ является классовой функцией G, а N - нормальной подгруппой. Целое число e, появляющееся в формулировке теоремы, является этой общей множественностью.

Следовательность теоремы Клиффорда

Одно из следствий теоремы Клиффорда, которое часто используется, заключается в том, что неснижаемый знак χ, появляющийся в теореме, индуцируется из неснижаемого знака инерциальной подгруппы IG ((μ). Если, например, необратимый символ χ является примитивным (то есть χ не индуцируется из какой-либо собственной подгруппы G), то G = IG(μ) и χN = eμ. Случай, когда это свойство примитивных символов используется особенно часто, когда N - абелева и χ - верная (то есть, его ядро содержит только элемент идентичности). В этом случае, μ является линейным, N представлен скалярными матрицами в любом представлении, предоставляющем характер χ, и N, таким образом, содержится в центре G. Например, если G - симметричная группа S4, то G имеет верный комплексный необратимый характер χ степени 3. Существует абелева нормальная подгруппа N порядка 4 (подгруппа Кляйна 4), которая не содержится в центре G. Следовательно, χ индуцируется из символа собственной подгруппы G, содержащей N. Единственная возможность заключается в том, что χ индуцируется из линейного символа подгруппы Sylow 2 G.

Дальнейшее развитие событий

Теорема Клиффорда привела к созданию собственной отрасли теории представлений, известной как теория Клиффорда. Это особенно актуально для теории представления конечных разрешимых групп, где обычно обильно встречаются нормальные подгруппы. Для более общих конечных групп теория Клиффорда часто позволяет свести теоретические вопросы представления к вопросам о группах, которые близки (в том смысле, что могут быть сделаны точными) к простому. В результате, в более точной версии этого результата для ограничения необратимых унитарных представлений локально компактных групп к закрытым нормальным подгруппам, в том, что стало известно как "машина Маккея" или "анализ нормальных подгрупп Маккея".