Введение

Система, в которой изменения выходных данных не пропорциональны изменениям входных данных.

В математике и науке нелинейная система (или нелинейная система) – это система, в которой изменение выходных данных не пропорционально изменению входных данных. Нелинейные задачи представляют интерес для инженеров, биологов, физиков, математиков и многих других ученых, поскольку большинство систем по своей природе нелинейны. Нелинейные динамические системы, описывающие изменения переменных во времени, могут проявлять хаотичность, непредсказуемость или контринтуитивность, в отличие от гораздо более простых линейных систем. Обычно поведение нелинейной системы в математике описывается нелинейной системой уравнений, которая представляет собой набор одновременных уравнений, в которых неизвестные (или неизвестные функции в случае дифференциальных уравнений) появляются в виде переменных многочлена степени выше единицы или в аргументе функции, не являющейся многочленом первой степени. Иными словами, в нелинейной системе уравнений уравнение (или уравнения), которое необходимо решить, нельзя представить в виде линейной комбинации неизвестных переменных или функций, входящих в него. Системы могут быть определены как нелинейные, независимо от того, присутствуют ли в уравнениях известные линейные функции. В частности, дифференциальное уравнение является линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных, даже если оно нелинейно относительно других переменных, входящих в него. Поскольку нелинейные динамические уравнения сложно решать, нелинейные системы часто аппроксимируются линейными уравнениями (линеаризацией). Это работает достаточно хорошо с определенной точностью и в определенном диапазоне входных значений, но некоторые интересные явления, такие как солитоны, хаос и сингулярности, скрываются при линеаризации. Следовательно, некоторые аспекты динамического поведения нелинейной системы могут казаться контринтуитивными, непредсказуемыми или даже хаотичными. Хотя такое хаотическое поведение может напоминать случайное, на самом деле оно таковым не является. Например, некоторые аспекты погоды проявляют хаотичность, когда незначительные изменения в одной части системы приводят к сложным эффектам во всей системе. Эта нелинейность – одна из причин, по которой точные долгосрочные прогнозы невозможны с использованием современных технологий. Некоторые авторы используют термин «нелинейная наука» для обозначения изучения нелинейных систем. Этот термин оспаривается другими.

Уравнения нелинейных систем

Нелинейная система уравнений состоит из набора уравнений в нескольких переменных, причём хотя бы одно из них не является линейным уравнением. Для отдельного уравнения вида разработано множество методов; см. Алгоритм поиска корней. В случае, когда f является полиномом, рассматривается полиномиальное уравнение вида. Общие алгоритмы поиска корней применимы к полиномиальным корням, но, как правило, они не находят все корни, и если алгоритм не может найти корень, это не означает, что корней не существует. Специальные методы для полиномов позволяют найти все корни или вещественные корни; см. Изоляция вещественных корней. Решение систем полиномиальных уравнений, то есть нахождение общих нулей нескольких полиномов в нескольких переменных, является сложной задачей, для которой разработаны специальные алгоритмы, такие как алгоритмы на основе базиса Грёбнера. Для общего случая системы уравнений, образованной приравниванием к нулю нескольких дифференцируемых функций, основным методом является метод Ньютона и его модификации. Как правило, они могут предоставить решение, но не дают информации о количестве решений.

Нелинейные отношения рецидива

Нелинейное соотношение рекуррентности определяет последовательные члены последовательности как нелинейную функцию предыдущих членов. Примеры нелинейных соотношений рекуррентности включают логистическое отображение и соотношения, определяющие различные последовательности Хофштадтера. Нелинейные дискретные модели, представляющие широкий класс нелинейных рекуррентных соотношений, включают модель NARMAX (нелинейная авторегрессионная модель скользящего среднего с внешними входами) и связанные с ней процедуры идентификации и анализа нелинейных систем. Эти подходы могут быть использованы для изучения широкого класса сложных нелинейных явлений в областях времени, частоты и пространственно-временной области.

Нелинейные дифференциальные уравнения

Система дифференциальных уравнений называется нелинейной, если она не является системой линейных уравнений. Задачи, связанные с нелинейными дифференциальными уравнениями, чрезвычайно разнообразны, и методы их решения или анализа зависят от конкретной задачи. Примерами нелинейных дифференциальных уравнений служат уравнения Навье-Стокса в гидродинамике и уравнения Лотки-Вольтерры в биологии. Одной из главных сложностей нелинейных задач является то, что, как правило, невозможно комбинировать известные решения для получения новых. В линейных задачах, например, семейство линейно независимых решений можно использовать для построения общих решений посредством принципа суперпозиции. Хорошим примером является одномерный теплообмен с граничными условиями Дирихле, решение которого можно представить в виде линейной комбинации синусоид различных частот, зависящей от времени; это обеспечивает большую гибкость решений. Часто можно найти несколько весьма специфических решений нелинейных уравнений, однако отсутствие принципа суперпозиции не позволяет конструировать новые решения.

Частичные дифференциальные уравнения

Наиболее распространенный базовый подход к изучению нелинейных уравнений в частных производных заключается в изменении переменных (или ином преобразовании задачи) таким образом, чтобы полученная задача стала проще (возможно, линейной). Иногда уравнение можно преобразовать в одно или несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, как это происходит при методе разделения переменных, который всегда полезен, независимо от того, разрешимы ли полученные обыкновенные дифференциальные уравнения. Другая распространенная (хотя и менее строгая с математической точки зрения) тактика, часто используемая в гидродинамике и теплотехнике, – это использование анализа масштабов для упрощения общего уравнения в конкретной задаче с граничными условиями. Например, (сильно) нелинейные уравнения Навье-Стокса можно упростить до одного линейного уравнения в частных производных в случае нестационарного, ламинарного, одномерного течения в круглой трубе; анализ масштабов предоставляет условия, при которых течение является ламинарным и одномерным, а также дает упрощенное уравнение. К другим методам относятся исследование характеристик и применение методов, описанных выше, для обыкновенных дифференциальных уравнений.