Введение

Логарифм комплексного числа В математике комплексный логарифм - это обобщение натурального логарифма на ненулевые комплексные числа. Термин относится к одному из следующих, которые тесно связаны: Комплексный логарифм ненулевого комплексного числа , определяемый как любое комплексное число, для которого такое число обозначается как . Первое - ограничить область экспоненциальной функции областью, которая не содержит никаких двух чисел, отличающихся целым кратным числа: это естественно приводит к определению ветвей , которые являются определенными функциями, выделяющими один логарифм каждого числа в их областях. Это аналогично определению on как обратного ограничения of к интервалу: существует бесконечно много действительных чисел с , но произвольно выбирается одно из них в Другой способ разрешить неопределенность - рассматривать логарифм как функцию, домен которой не является областью в сложной плоскости, а поверхностью Римана, которая покрывает проколотую сложную плоскость в бесконечном к 1 пути. Преимущество ветвей в том, что они могут быть оценены в сложных числах. С другой стороны, функция на поверхности Римана элегантна тем, что она объединяет все ветви логарифма и не требует произвольного выбора в качестве части своего определения.

Определение

Для каждого ненулевого комплексного числа , основное значение - логарифм , мнимая часть которого лежит в интервале .

Строительство

Различные ветви не могут быть склеены, чтобы дать одну непрерывную функцию, потому что две ветви могут давать разные значения в точке, где оба определены. Сравните, например, основную ветвь на с мнимой частью в и ветвь, на которой мнимая часть лежит в Они согласуются на верхней полуплоскости, но не на нижней полуплоскости. Поэтому имеет смысл склеивать домены этих ветвей только вдоль копий верхней половины плоскости. Полученная клеенная область соединена, но она имеет две копии нижней половины плоскости. Эти две копии можно визуализировать как два уровня парковочного гаража, и можно добраться от уровня нижней половины плоскости до уровня нижней половины плоскости, переходя радианами против часовой стрелки вокруг 0, сначала пересекая положительную реальную ось (уровня) в общую копию верхней половины плоскости, а затем пересекая отрицательную реальную ось (уровня) в уровень нижней половины плоскости. Можно продолжать склеивать ветви с мнимой частью в , в , и так далее, и в другом направлении, ветви с мнимой частью в , в , и так далее. В итоге получается соединенная поверхность, которую можно рассматривать как спиральную парковку с бесконечно многочисленными уровнями, простирающимися как вверх, так и вниз. Это поверхность Римана, связанная с точкой, которую можно рассматривать как пару, где есть возможное значение аргумента . Таким образом, R может быть встроен в .

Функция логарифма на поверхности Римана

Поскольку домены ветвей были склеены только вдоль открытых множеств, где их значения согласовывались, ветви склеиваются, чтобы дать одну хорошо определенную функцию. Она отображает каждую точку на эту точку. Этот процесс расширения исходной ветви путем склеивания совместимых голоморфных функций известен как аналитическое продолжение. Существует "проекционная карта" снизу вниз, которая "сглаживает" спираль, посылая для любого , если взять все точки лежащие "прямо над" и оценить во всех этих точках, то получится все логарифмы .

Приклеивание всех ветвей лог z

Вместо того, чтобы склеивать только выбранные выше ветви, можно начать со всех ветвей , и одновременно склеить каждую пару ветвей и вдоль самого большого открытого подмножества, на котором и согласны. Это дает ту же самую поверхность Римана и функцию, что и раньше. Этот подход, хотя и немного сложнее визуализировать, более естественен, поскольку он не требует выбора каких-либо конкретных отраслей. Если является открытым подмножеством, проекционирующим биективно к своему изображению в , то ограничение to соответствует ветке, определенной на Каждая ветка возникает таким образом.

Поверхность Римана как универсальное покрытие

Карта проекции реализуется как покрывающее пространство по факту, это покрытие Галуа с группой трансформации палубы изоморфной к , генерируемой гомеоморфизмом посылающей к Как комплексный многообразный, является бихоломорфным с через (В обратной карте посылает к .) Это показывает, что просто связан, так же как и универсальный обложка .

Приложения

Комплексный логарифм необходим для определения показателя, в котором основание является комплексным числом. Именно, если и являются комплексными числами с , можно использовать основное значение для определения Можно также заменить другими логарифмами , чтобы получить другие значения , отличающиеся по факторам формы Выражение имеет одно значение, если и только если является целым числом. Поскольку тригонометрические функции могут быть выражены как рациональные функции , обратные тригонометрические функции могут быть выражены в терминах сложных логарифмов. Поскольку картографирование преобразует круги, сосредоточенные в 0 в вертикальные сегменты прямой линии, оно полезно в инженерных приложениях, включающих кольцевой круг. В электротехнике постоянная распространения включает в себя сложный логарифм.