Введение
Трансформация Габора, названная в честь Дэнниса Габора, является особым случаем коротковременной трансформации Фурье. Он используется для определения синусоидальной частоты и фазового содержания локальных участков сигнала, поскольку он меняется с течением времени. Преобразуемая функция сначала умножается на гауссовую функцию, которую можно рассматривать как функцию окна, а полученную функцию затем преобразуют с помощью преобразования Фурье для получения анализа частоты времени. Функция окна означает, что сигнал, близкий к анализируемому времени, будет иметь более высокий вес. Трансформация Габора сигнала x ((t) определяется следующей формулой: Гауссова функция имеет бесконечный диапазон и нецелесообразна для реализации. Однако для распределения гауссовской функции можно выбрать уровень значимости (например, 0,00001). За пределами этих границ интеграции гауссовская функция достаточно мала, чтобы ее игнорировать. Таким образом, преобразование Габора может быть удовлетворительно приближено к: Это упрощение делает преобразование Габора практичным и реализуемым. Ширина окна также может быть изменена для оптимизации разрешения частоты времени для конкретного приложения путем замены с некоторыми избранными .
The Gaussian function has infinite range and it is impractical for implementation. However, a level of significance can be chosen (for instance 0.00001) for the distribution of the Gaussian function. Outside these limits of integration the Gaussian function is small enough to be ignored. Thus the Gabor transform can be satisfactorily approximated as
This simplification makes the Gabor transform practical and realizable. The window function width can also be varied to optimize the time frequency resolution tradeoff for a particular application by replacing the with for some chosen .
Применение и пример
Основное применение преобразования Габора используется в анализе временичастоты. Возьмем следующую функцию в качестве примера. Входный сигнал имеет частотную составляющую 1 Гц, когда t ≤ 0, и частотную составляющую 2 Гц, когда t > 0. Но если общая доступная полоса частот составляет 5 Гц, другие полосы частот, кроме x ((t), напрасно используются. Благодаря анализу временичастоты с применением трансформации Габора, доступная полоса частот может быть известна, и эти полосы частот могут быть использованы для других приложений, и полоса частот сохраняется. На правой стороне изображение показывает входный сигнал x ((t) и выход преобразования Габора. Как и ожидалось, частотное распределение можно разделить на две части. Один из них - t ≤ 0, а другой - t > 0. Белая часть - это полоса частот, занятая x(t), а черная часть не используется. Обратите внимание, что для каждого момента времени существует как отрицательная (верхняя белая часть), так и положительная (нижняя белая часть) частотная составляющая.
But if the total bandwidth available is 5 Hz, other frequency bands except x(t) are wasted. Through time–frequency analysis by applying the Gabor transform, the available bandwidth can be known and those frequency bands can be used for other applications and bandwidth is saved. The right side picture shows the input signal x(t) and the output of the Gabor transform. As was our expectation, the frequency distribution can be separated into two parts. One is t ≤ 0 and the other is t > 0. The white part is the frequency band occupied by x(t) and the black part is not used. Note that for each point in time there is both a negative (upper white part) and a positive (lower white part) frequency component.
Временно-казуальный аналог преобразования Габора
При обработке временных сигналов, данные из будущего не могут быть доступны, что приводит к проблемам, если пытаться использовать функции Габора для обработки сигналов в реальном времени. В 2007 году был разработан временной каузальный аналог фильтра Габора, основанный на замене гауссовского ядра в функции Габора временным каузальным и рекурсивным ядром, называемым ядром временного каузального лимита. Таким образом, анализ частоты времени, основанный на полученном сложном оцененном расширении ядра причинно-следственного ограничения времени, позволяет улавливать по существу аналогичные преобразования временного сигнала, как функция Габора, и соответствующие группе Гейзенберга, см. Для получения дополнительной информации.