Введение

В 1936 году Альфред Тарски дал аксиоматизацию действительных чисел и их арифметику, состоящую только из восьми аксиомов, показанных ниже, и всего лишь из четырех примитивных понятий: множество действительных чисел, обозначаемых R, двоичное отношение над R, обозначаемое приставкой <, двоичная операция сложения над R, обозначаемая приставкой +, и константа 1. Аксиоматизация Тарского, которая является теорией второго порядка, может рассматриваться как версия более обычного определения действительных чисел как уникальное полное упорядоченное поле Дедекинда; однако она гораздо более лаконична, полностью избегая умножения и используя неортодоксальные варианты стандартных алгебраических аксиомов и другие тонкие приемы. Тарски не предоставил доказательства того, что его аксиом достаточно, или определения умножения действительных чисел в его системе. Тарски также изучал теорию первого порядка структуры (R, +, ·, <), что привело к набору аксиом для этой теории и к концепции реальных замкнутых полей.

Аксиомы порядка (примитивные: R, <)

Аксиома 1 Если x < y, то не y < x. [То есть, "<" - это асимметричное отношение. Это означает, что "<" является иррефлексивным, т.е. для всех х, а не для х < х.] Аксиома 2 Если x < z, существует y, такое что x < y и y < z. Аксиома 3 Для всех подмножеств X, Y R, если для всех x ∈ X и y ∈ Y, x < y, то существует z, такое что для всех x ∈ X и y ∈ Y, если x ≠ z и y ≠ z, то x < z и z < y. [Другими словами, "<" является Дедекиндовым полным, или неформально: "Если множество действительных чисел X предшествует другому множеству действительных чисел Y, то существует по крайней мере одно реальное число z, разделяющее два множества". Это аксиома второго порядка, поскольку она относится к множествам, а не только к элементам.]

Аксиомы сложения (примитивные: R, <, +)

Аксиома 4 x + (y + z) = (x + z) + y. [Обратите внимание, что это неортодоксальная смесь ассоциативности и коммутативности.] Аксиома 5 Для всех x, y существует z, такое, что x + z = y. [Это позволяет вычитать и также дает 0.] Аксиома 6 Если x + y < z + w, то x < z или y < w. [Это противоположность стандартной аксиоме для упорядоченных групп.]

Аксиомы для 1 (примитивные: R, <, +, 1)

Аксиома 7 1 ∈ R. Аксиома 8 1 < 1 + 1.

Обсуждение

Тарски заявил, без доказательств, что эти аксиомы превращают отношение < в общее упорядочение. Недостающий компонент был поставлен в 2008 году Стефани Уцней. Тогда аксиомы подразумевают, что R - линейно упорядоченная абелева группа при сложении с отличительным положительным элементом 1, и что эта группа является Дедекиндом полной, делимой и Архимедовой. Тарски никогда не доказывал, что эти аксиомы и примитивы подразумевают существование бинарной операции, называемой умножением, которая имеет ожидаемые свойства, так что R становится полным упорядоченным полем при сложении и умножении. Можно определить эту операцию умножения, рассмотрев определенный порядок сохранения гомоморфизмов упорядоченной группы (R +, <).