Введение

Топологическое пространство, в котором все одноэлементные множества замкнуты. В топологии и смежных областях математики, T1-пространство — это топологическое пространство, в котором для каждой пары различных точек каждая точка имеет окрестность, не содержащую другую точку. R0-пространство — это пространство, в котором это условие выполняется для каждой пары топологически различимых точек. Свойства T1 и R0 являются примерами аксиом разделения.

Определения

Пусть X — топологическое пространство, а x и y — точки в X. Мы говорим, что x и y разделены, если для каждой из них существует окрестность, не содержащая другую точку. Пространство X называется T1-пространством, если любые две различные точки в X разделены. Пространство X называется R0-пространством, если любые две топологически различимые точки в X разделены. T1-пространство также называется доступным пространством или пространством с топологией Фреше, а R0-пространство также называется симметричным пространством. (Термин «пространство Фреше» также имеет совершенно иное значение в функциональном анализе. По этой причине предпочтительнее использовать термин T1-пространство. Существует также понятие пространства Фреше-Урысона как типа последовательного пространства. Термин «симметричное пространство» также имеет другое значение.) Топологическое пространство является T1-пространством тогда и только тогда, когда оно является одновременно R0-пространством и пространством Колмогорова (или T0-пространством), то есть пространством, в котором различные точки топологически различимы. Топологическое пространство является R0-пространством тогда и только тогда, когда его фактор-пространство Колмогорова является T1-пространством.

Обобщение на другие виды пространств

Термины "T1", "R0" и их синонимы также применимы к различным видам топологических пространств, таким как однородные пространства, пространства Коши и пространства сходимости. Общим для всех этих примеров является то, что пределы фиксированных ультрафильтров (или постоянных сетей) единственны (для пространств T1) или единственны с точностью до топологической неразличимости (для пространств R0). Оказывается, однородные пространства и, в более общем случае, пространства Коши всегда удовлетворяют условию R0, поэтому условие T1 в этих случаях сводится к условию T0. Однако само по себе условие R0 может представлять интерес для других типов пространств сходимости, например, для претопологических пространств.