Введение
Тип отношения для подмножеств топологического пространства
В топологии и смежных областях математики, разделенные множества — это пары подмножеств заданного топологического пространства, которые находятся в определенном отношении друг к другу: говоря грубо, они не пересекаются и не соприкасаются. Понятие о том, разделены два множества или нет, важно как для понятия связных пространств (и их связных компонент), так и для аксиом разделения топологических пространств. Разделенные множества не следует путать с разделимыми пространствами (определенными ниже), которые хоть и связаны, но различны. Разделимые пространства — это совершенно иная топологическая концепция.
Отношение к аксиомам разделения и разделенным пространствам
Аксиомы разделения — это различные условия, которые иногда накладываются на топологические пространства, многие из которых можно описать в терминах различных типов разделимых множеств. В качестве примера мы определим аксиому T2, которая является условием, предъявляемым к пространствам, удовлетворяющим свойству разделения. В частности, топологическое пространство называется разделенным, если для любых двух различных точек x и y, множества, состоящие только из x и только из y (то есть {x} и {y}), разделены окрестностями. Разделенные пространства обычно называют пространствами Хаусдорфа или T2-пространствами.
Отношение к связанным пространствам
При заданном топологическом пространстве X иногда полезно рассмотреть, возможно ли отделить подмножество A от своего дополнения. Это, безусловно, верно, если A является либо пустым множеством, либо всем пространством X, но могут существовать и другие возможности. Топологическое пространство X называется связным, если эти две возможности – единственные. И наоборот, если непустое подмножество A отделено от своего дополнения, и если единственным подмножеством A, обладающим этим свойством, является пустое множество, то A является открытой связной компонентой X. (В вырожденном случае, когда X само является пустым множеством, мнения специалистов расходятся относительно того, является ли оно связным и является ли открытой связной компонентой самого себя.)
Отношение к топологически различимым точкам
Для топологического пространства X две точки x и y топологически различимы, если существует открытое множество, содержащее одну точку, но не содержащее другую. Если x и y топологически различимы, то одноэлементные множества {x} и {y} должны быть непересекающимися. С другой стороны, если одноэлементные множества {x} и {y} разделены, то точки x и y должны быть топологически различимы. Таким образом, для синглетонов топологическая различимость является условием, промежуточным между непересекаемостью и разделённостью.